개요
고등학교 수학 미적분 파트에서 볼 수 있는 연속함수의 성질 중 하나. 영어로는 Extreme Value Theorem[1] 이라고 한다.
비 수학과를 위한 설명
수학의 정석에서는 이렇게 설명 하고 있다.
“ 함수 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]가 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]는 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다. “
여기서 중요한 것은 닫힌 구간과 연속이다. 둘 중 하나라도 빠지면 최댓값과 최솟값이 존재 하지 않을 수도 있다. 시험에서 실수로 빼먹으면 틀릴 수도 있다. 다만 이 정리 하나만으론 문제를 잘 안 낸다. 얼핏보면 당연해 보이는 이 정리는 교과서나 정석에서도 증명을 고교생 수준에선 할 수 없다며 하지 않고 넘어간다. 그 이유를 알고 싶다면 아래 문단을 읽어보도록 하자.
수학과를 위한 설명
수학에 대해 조금 관심이 있는 사람이라면 알겠지만, 당연해보이는 것의 증명이 사실은 어려운 법. 이 정리를 증명하기 위해서는 boundness나 compact에 대한 이해가 필요하다. 한 단계씩 증명을 하도록 하자.
보조정리 1
“ 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 closed, bounded한 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 그 구간의 각 점에서 bounded되어 있다. “
증명
[math]\displaystyle{ f }[/math]가 구간 내의 한 점 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이라고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \forall x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|\lt 1 }[/math]을 만족하게 하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재한다. 따라서 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)\right|\lt 1+\left|f\left(x_0\right)\right| }[/math]이고, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이다. [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]가 좌끝 (=[math]\displaystyle{ a }[/math]), 혹은 우끝 (=[math]\displaystyle{ b }[/math])일 때도 비슷한 방법으로 boundness를 보일 수 있다.
보조정리 2
“ 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 각 점에서 bounded되어 있고, [math]\displaystyle{ A }[/math]가 compact하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 bounded되어 있다. “
증명
각 [math]\displaystyle{ x\in A }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ A\cap I_x }[/math]에서 bounded되게 하는 열린 구간 [math]\displaystyle{ I_x=\left(x-\delta_x,x+\delta_x\right) }[/math]이 존재한다. 열린 구간 [math]\displaystyle{ I_x }[/math]의 집합 [math]\displaystyle{ \left\{I_x|x\in A\right\} }[/math]는 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 open covering이고, Heine-Borel 정리에 의해 [math]\displaystyle{ A\subset\bigcap_{k=1}^{n} }[/math]를 만족하는 유한한 열린 구간 [math]\displaystyle{ I_{x1},I_{x2},\cdots,I_{xn} }[/math]이 존재한다. 또한 [math]\displaystyle{ k=1,2,\cdots,n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ A\cap I_k }[/math]에서 bounded되어 있으므로 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)\right|\leq M_k,\forall x\in A\cap I_{xk} }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ M_k\gt 0 }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ M=\max_{1\leq k\leq n}M_k }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)\right|\lt M,\forall x\in A }[/math]이다.
본 증명
[math]\displaystyle{ f }[/math]가 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이므로, 보조정리 2에 의해 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 bounded되어 있다. 실수의 성질에 의해 [math]\displaystyle{ M=\sup_{x\in\left[a,b\right]}f\left(x\right),\,m=\inf_{x\in\left[a,b\right]}f\left(x\right) }[/math]가 실수로서 존재한다. 이제 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ M }[/math]을 가질 수 없다고 가정하자. 그럼 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt M,\forall x\in\left[a,b\right] }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=1/\left[M-f\left(x\right)\right] }[/math]로 정의하자. 그럼 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\gt 0 }[/math]이고, 연속함수의 성질에 의해서 [math]\displaystyle{ g\left(x\right) }[/math]도 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이다.[2] 보조정리 2에 의해 [math]\displaystyle{ g }[/math]도 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 bounded되어 있고, 따라서 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\leq k }[/math]를 만족하는 양수 [math]\displaystyle{ k }[/math]가 존재한다. 그럼 [math]\displaystyle{ k\geq g\left(x\right)=1/\left[M-f\left(x\right)\right] }[/math]이고 정리하면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\leq M-1/k,\forall x\in\left[a,b\right] }[/math]이다. 이는 supremum의 정의에 위배되고 따라서 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ M }[/math] (=최댓값)을 가져야 한다. 최솟값의 존재에 대한 증명은 [math]\displaystyle{ -f }[/math]에 대해 같은 방법으로 증명할 수 있다.
아니 이게 무슨 소리야
내용을 보면 알겠지만 절대 고교생이 할 수 있을만한 내용은 아니다.
다변수 함수에서의 최댓값, 최솟값
위 일변수 함수에서의 최대·최소의 정리를 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]에 대해 일반화 시킨 버전. 내용은 아래와 같다.
“ [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} }[/math]이 [math]\displaystyle{ A\subset\mathbb{R}^n }[/math]에서 연속이고, [math]\displaystyle{ A }[/math]가 compact 하다고 하자. 그러면 [함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다. “
일변수 함수의 것과 비교해보면 닫힌 구간이 compact로 바뀐 것 밖에 없다. 사실 닫힌 구간이 compact의 한 예이다. Compact는 "유계이며 닫혀 있다"와 동치이기 때문. 이를 하이네-보렐 정리라고 한다. 이 정리를 좀 더 일반화 시키면 compact한 위상공간에 대한 버전이 있다.