틀:학술 관련 정보 틀:토막글 집합(Set)은 게오르그 칸토어가 만들어낸 수학적인 개념이다.
순진한 집합론
정의
순진한 집합론(Naive set theory)에서는 칸토어가 처음 정의한 대로, 잘 정의된 수학적 대상을 모아놓은 것을 집합이라고 하며, 이때 집합의 구성 요소를 원소(element)라고 한다. 만약 a가 집합 A의 원소라면,
- [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]
로 표기한다. 만약 a가 집합 A의 원소가 아니라면,
- [math]\displaystyle{ a\not\in A }[/math]
로 표기한다. 만약 집합 A와 B의 원소가 동일하다면 A와 B는 같다고 하고,
- [math]\displaystyle{ A=B }[/math]
로 표기한다. 만약 A의 임의의 원소가 B의 원소라면, A는 B의 부분집합(Subset)이라고 하고,
- [math]\displaystyle{ A\subset B }[/math]
로 표기한다. 집합론 책에서는 부분집합임을 명시하기 위해 ⊆라는 표기를 대신 쓰는 경우가 있는데, 이때 A⊂B는 A가 B의 부분집합이지만 서로 같지 않음을 뜻하는 것으로 해석하면 된다.
집합 A와 B가 주어졌을 때, A와 B에 공통으로 속해 있는 원소를 모두 모은 집합을 A와 B의 교집합(Intersection)이라고 하며, A∩B로 표기한다. 즉,
- [math]\displaystyle{ A\cap B=\{x:(x\in A)\wedge(x\in B)\} }[/math]
한편, A 또는 B에 포함되어 있는 원소를 모두 모은 집합을 A와 B의 합집합(Union)이라 하며, A∪B로 표기한다. 즉,
- [math]\displaystyle{ A\cup B=\{x:(x\in A)\vee(x\in B)\} }[/math]
A에 포함되어 있는 원소들 중에 B의 원소가 아닌 것들을 모두 모은 집합을 A에 대한 B의 차집합이라 하고, A＼B로 나타낸다. 즉,
- [math]\displaystyle{ A\setminus B=\{x:(x\in A)\wedge(x\not\in B)\} }[/math]
기본연산
- [math]\displaystyle{ A\cap B=B\cap A }[/math]
- [math]\displaystyle{ A\cup B=B\cup A }[/math]
- [math]\displaystyle{ (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C) }[/math]
- [math]\displaystyle{ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) }[/math]
- [math]\displaystyle{ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) }[/math]
- [math]\displaystyle{ C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B) }[/math]
- [math]\displaystyle{ C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B) }[/math]
역설
왜 이론 앞에 모자랄 정도로 순진해 빠졌다(naive)라는 단어가 붙었는지 궁금할 것이다.칸토어는 왜 비참하게 죽었을까?
- 러셀의 역설
집합 V를 자기 자신을 포함하지 않는 집합의 모임으로 정의하자. 즉,
- [math]\displaystyle{ V=\{x\vert x\not\in x\} }[/math]
이다. 그러면 V는 V의 원소일까? [math]\displaystyle{ V\in V }[/math]라고 가정하자. 그러면 V의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ V\not\in V }[/math]이므로 모순이다. 만약 [math]\displaystyle{ V\not\in V }[/math]이면 [math]\displaystyle{ V\in V }[/math]이므로 모순이다.