정다각형

틀:학술 Regular Polygon 정다각형은 다각형 중 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 동일한 다각형을 말한다. 각의 숫자(=변의 숫자)에 따라 이름이 붙는다. 변이 다섯 개인

정다각형의 특성

• 모든 정n각형은 서로 닮은꼴(Similar)이다.
• 정n각형의 내각의 크기는 [math]\displaystyle{ \frac{n-2}{n} \pi \rm{rad} }[/math]가 된다.
• 정n각형의 변으로 연결되지 않은 두 쌍의 꼭지점 (A,B), (C, D)에 대해 변으로 연결된 거리가 동일한 경우에 그 꼭지점 쌍을 잇는 대각선 AB와 CD의 길이는 동등하다.
• 정n각형은 선대칭축이 n개이다. 더 정확히 말해 정n각형의 대칭군(Symmetry Group)은 [math]\displaystyle{ D_2n = \left\lt s, t | s^n = t^2 = s t s^{-1} = id \right\gt }[/math]

정다각형의 종류

• 정삼각형
• 정사각형
• 정오각형
• 정육각형
• 정칠각형
• 정팔각형

자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 정다각형

카를 프리히드리 가우스는 정다각형의 각의 숫자가 2의 거듭제곱 또는 페르마 소수로만 구성될 때에 작도가능하다는 것을 보였다. 더 정확히 말해서는 정n각형은 n의 오일러 phi 함수값이 [math]\displaystyle{ \phi(n) = 2^r }[/math] 형태로 나올 때에, 그리고 그 때에만 작도가 가능하다.

별 모양의 정다각형

변이 서로 교차된 다각형을 별 모양 다각형이라고 한다. 특히 변의 길이랑 두 변 사이의 각도가 모두 같은 별 모양의 정다각형이 있다. 좁은 의미에서는 다각형에 해당되지는 않지만 이 도형도 때에 따라 정다각형으로 취급한다. 보통 정다각형에서 길이가 동일한 대각선을 연속적으로 연결했을 때 별 모양이 나온다. 넓은 의미로는 여러 개의 정다각형/별 모양 도형 여러 개가 엇갈려서 나타나는 도형들도 모함하며, 좁은 의미로는 모든 꼭지점이 하나로 연결된 도형만을 지칭한다. 별 모양 도형은 슐래플리 기호를 이용해 구별한다. {별 모양 도형의 변의 수}/{꼭지점을 연결할 때 회전한 횟수}를 별 모양 정다각형의 각의 숫자로 말하기도 한다. 예를 들면 가장 대표적인 별 모양 다각형인 오각별은 슐래플리 기호가 {5/2}이다.

관련 문서

• 도형

외부 링크

• 위키백과:정다각형
• wikipedia:Regular polygon