도형(圖形, Shape)이란 기하학에서 다루는 객체, 다른 말로는 기하학적인 집합을 말한다. 이것은 테두리가 될 수도 있고, 속이 꽉 찬 대상이 될 수도 있다. 예를 들면 삼각형 같은 경우 속이 꽉 찬 삼각형 그 자체를 도형이라고 부르기도 하고 삼각형의 세 변의 모임만을 도형이라고 부르기도 한다. 그냥 기하학에서 다루는 "눈에 보이는 그림으로 묘사할 수 있는 개체"를 모두 말한다고 생각하면 편하다.
도형이라고 부르는 것들[편집 | 원본 편집]
도형은 기하학적인 객체 아무거나 정의할 수 있지만 보통은 위상공간(Topological Space), 그 중에서도 거리공간(Metric Space)의 부분집합에 한해서만 사용하는 경우가 많다. 이는
도형의 차원[편집 | 원본 편집]
도형의 차원은 도형의 점 근방의 열린집합의 차원의 최댓값으로 정의한다. 일반적으로 내적(Inner Product)을 정의할 수 있는 유클리드 공간의 부분집합에 한해서만 정의하는 경우가 많다. 유클리드 공간(Euclidean Space)의 경우 선형독립(Linearly independent)인 벡터의 개수로 정의되며, 다양체(Manifold)읙 경우는 다양체와 국소적으로 위상동형(homeomorphic)인 유클리드 공간의 차원으로 정의되며, 다양체들의 합집합으로 구성된 도형의 경우 가장 차원이 높은 다양체의 차원이 도형의 차원으로 정의되어 쉽게 정의된다.
르베그 덮개 차원[편집 | 원본 편집]
이와 관련한 주제는 Wikipedia:Lebesgue Covering Dimension에서 다룹니다.하지만 프랙탈 도형 등 가산개의 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 도형으로 표현할 수 없는 경우에는 이 방법으로 차원을 정의하기 난감해진다. 그럴 때에는 르베그 덮개 차원(Lebesgue Covering Dimension)을 이용해서 정의한다. 어떤 집합 X에 대한 열린 덮개(Open Cover) [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math]가 있을 때 아래와 같은 성질을 만족하는 열린 덮개의 세분(refinement) [math]\displaystyle{ \mathcal{U} }[/math]가 존재할 때 X의 르베그 덮개 차원은 n차원이 된다. 즉 임의의 열린 덮개를 정의해도 X위의 모든 점 x에 대해 x를 포함하는 열린집합이 n+1개를 넘지 않는 세분이 존재하면 된다.
[math]\displaystyle{ \max_{x \in X} \vert \{V \ni x| V \in \mathcal{U} \} \vert = n+1 }[/math]
얼핏 봐서는 상당히 이해하기 힘든 개념이기에 아래의 도형을 한 번 생각해보자. 아래의 정사각형의 경우, 열린 덮개를 아무리 잡아도 기껏해야 한 점을 포함하는 열린집합이 3개 이하인 세분(refinement)을 만들 수 있다. 그러나 열린 덮개의 최대한의 교차하는 숫자가 2가 되게 만들려고 하면 아래와 같이 빈 공간이 생긴다. 즉 사각형의 르베그 덮개 차원은 2이다.
하우스도르프 차원[편집 | 원본 편집]
이와 관련한 주제는 Wikipedia:Hausdorff dimension에서 다룹니다.프랙탈 도형의 경우에는 특별히 하우스도르프 차원(Hausdorfff Dimension)이라고 부르는 다른 차원이 존재한다. 이는 프랙탈 도형에서 반복되는 도형의 갯수와 나눈 갯수를 이용해서 구할 수 있다. 이 경우에는 차원의 값이 정수가 아닌 소수로 나올 수 있다. 대략적인 정의를 살펴보자면
[math]\displaystyle{ \dim X = \frac{\ln (\text{Number of self-similar objects})}{\ln (\text{Ratio of measures of original objects related to partitoned objects})} }[/math]
역시 아래와 같이 정사각형을 보면 가로/세로로 2등분할 때에 원래의 정사각형과 닮은꼴인 4개의 정사각형이 나타나므로 하우스도르프 차원은 ln4/ln2 = 2로 나온다.
다른 예를 들어본다. 칸토르 집합(Cantor Set)의 경우, 폐구간의 가운데 1/3을 계속해서 제거하는 방식으로 만들 수 있는데, 이 경우는 원래의 크기의 1/3 측도를 가진 도형이 2개가 있는 꼴이므로 하우스도르프 차원은 ln2/ln3≒0.6309... 차원이 나온다.
또 다른 예로 시에르핀스키 삼각형(Sierpinski Triangle)의 경우 정삼각형을 4등분한 뒤에 가운데 삼각형을 제거하는 방식으로 만들어지는데, 이 경우는 원래의 크기의 1/2 측도를 가진 도형이 3개가 있는 형태이므로 하우스도르프 차원은 ln3/ln2≒1.5849...차원이 나온다.
도형의 종류[편집 | 원본 편집]
도형의 차원에 따라서 점(0), 선(1), 면(2), 입체(3), 초입체(≥4) 등으로 분류할 수 있다. 또한 도형 중에서 모든 점에서 국소적으로 매끄러운(smooth) 도형과 그렇지 않은 도형이 있으며, 특히 모든 점에서 국소적으로 동일한 차원의 유클리드 공간과 위상동형이 되는 매끄러운 도형을 다양체(Manifold)라고 부른다.
차원에 따른 분류[편집 | 원본 편집]
= 점[편집 | 원본 편집]
0차원 도형이다. 점은 길이나 부피 등의 어떠한 측도도 갖지 않는다. 점들이 유한개 모인 것도 도형이며,
선[편집 | 원본 편집]
1차원 도형으로 점들이 이루어진 도형이다.
- 직선 (Straight Line)- 유클리드 공간에서 하나의 방향으로 한결같이 연결된 선을 말한다.
- 측지선(Geodesic) 유클리드 공간이 아닌 경우에는 유클리드 공간의 직선에 상응하는 것을 정의할 수 없기에 방향벡터의 변화가 없는 측지선이라는 개념을 대신 사용한다.
- 곡선 (Curve) - 직선이 아닌 임의의 선을 말한다. 특정한 점에서 곡선의 방향은 곡선의 점에서 국소적으로 일치하는 직선의 방향으로 정의하며, 방향이 연속적으로 바뀌는 곡선을 부드러운 곡선(smooth curve)라고 부른다.
- 평면도형의 변, 좌표평면의 그래프가 대표적으로 선 형태의 도형이다.
2차원 도형[편집 | 원본 편집]
- 평면(Plane) - 2개의 서로 교차하고 방향이 다른 직선 l, m에 대해 직선 l의 점 위에서 직선 m과 평행하거나 일치한 직선들을 모을 때 생기는 도형을 말한다. 직관적으로 말해서는 임의의 방향으로 곧게 연장한 것이 모두 직선이 되는 2차원 도형을 말한다.
- 곡면(Surface) - 국소적으로 평면과 위상동형(homeomorphic)인 2차원 도형을 말한다. 특히 임의의 방향으로 연장한 곡선들이 모두 부드러운 곡선을 이루면 부드러운 곡면(Smooth surface)이라고 부른다. 특별히 국소적으로 완전한 평면을 이루는 경우 평평한 표면(flat surface)이라고 부른다.
- 평면도형 - 평면 위에서 정의된 도형이며, 속이 꽉찬 도형을 가리키는 경우가 많다.
3차원 도형[편집 | 원본 편집]
- 공간(Flat Space) - 서로 교차하고 선형 독립인 직선 l,m,n의 선형 생성(Linear Span)이다. 우리가 흔히 말하는 좌표공간이 대표적인 공간이다.
- 공간도형 - 공간 위에서 정의된 도형이며, 역시 평면도형과 마찬가지로 속이 꽉 찬 도형을 가리키는 경우가 많다.
초입체[편집 | 원본 편집]
4차원 이상의 도형을 말한다.
다른 분류[편집 | 원본 편집]
- 경계의 유무 - 경계가 있는 유계(bounded) 도형과 경계가 없는 무계(unbounded) 도형이 있다.
- 위상학적인 성질 - 위상학적으로 닫혀 있는 경우 닫힌 도형(closed shape)이라고 하고, 열려 있는 경우 열린 도형(opened shape)이라고 부른다. 예를 들면 우리가 흔히 보는 도형들의 경우 경계(boundary)를 포함한 도형이나 그 도형의 경계 그 자체는 닫힌 도형이 되고, 경계를 제외한 부분만으로 이루어진 도형들은 열린 도형이 된다.
유클리드 공간[편집 | 원본 편집]
이와 관련한 주제는 유클리드 공간에서 다룹니다.유클리드 공간은 유한 개 또는 무한 개의 선형 독립(linearly independent)인 벡터들의 선형 생성(Linear Span)을 말한다. 보통은 실수에 의해 생성되는 실공간(Real Space)을 의미하는 경우가 많다.
우리가 살고 있는 공간은 3차원 유클리드 공간이다.
다양체[편집 | 원본 편집]
이와 관련한 주제는 다양체에서 다룹니다.다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 도형을 말한다.