절댓값

절댓값(絶對-, absolute value)은 실수나 복소수 (또는 사원수)에 대하여, 수직선이나 복소평면의 원점에서부터 그 수까지의 거리로, 놈의 특수한 경우이다. 기호로 [math]\displaystyle{ |x| }[/math]로 나타내며, 프로그래밍 언어 등에서는 absolute의 앞 세 글자를 따 abs(x)라고 쓴다.

실수

실수 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대하여, 절댓값 [math]\displaystyle{ |x| }[/math]을

[math]\displaystyle{ |x| := \begin{cases} x, & \textrm {if } x \ge 0 \\ -x, & \textrm{if } x \lt 0. \end{cases} }[/math]

으로 정의한다. 절댓값은 완전 곱셈적 함수이며, 거리함수의 일종이므로 삼각부등식이 성립하는 등의 성질을 만족한다.

• [math]\displaystyle{ |x| = \sqrt{x^2} }[/math] (거듭제곱으로의 표현)
• [math]\displaystyle{ |x|=x/\operatorname{sgn}(x) \quad \textrm{if }x\ne 0 }[/math] (부호함수로의 표현)
• [math]\displaystyle{ |x| \ge 0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ |xy| = |x||y| }[/math] (완전 곱셈적)
• [math]\displaystyle{ |x+y| \le |x| + |y| }[/math] (삼각부등식 1)
• [math]\displaystyle{ \left||x|\right| = |x| }[/math] (멱등성)
• [math]\displaystyle{ |-x| = |x| }[/math] (우함수)
• [math]\displaystyle{ |x-y| = 0 \Leftrightarrow x=y }[/math]
• [math]\displaystyle{ |x-y| \le |x-z| + |z-y| }[/math] (삼각부등식 2)
• [math]\displaystyle{ |x-y| \ge \left||x|-|y|\right| }[/math] (삼각부등식 3)
• [math]\displaystyle{ |x| \le y \Leftrightarrow -y \le x \le y }[/math]
• [math]\displaystyle{ |x| \ge y \Leftrightarrow x \le -y\le 0\ \textrm{ or }0 \le y \le x }[/math]

복소수

복소수 [math]\displaystyle{ z=\Re z + i\Im z }[/math]에 대하여

[math]\displaystyle{ |z| := z / \operatorname{sgn} z =\sqrt{(\Re z)^2 + (\Im z)^2} }[/math]

으로 정의한다. 실수에서의 성질 중, 순서 관계가 있는 것은 사용하지 못한다.

참고

• 노름 (수학)
• 거리공간