열린 집합(개집합, 開集合, open set)은 어떤 원소에 미소한 움직임이 있어도 다시 그 집합에 속하는 집합을 말한다. 즉, 열린 집합의 모든 원소(점)은 내부점(interior point)이다.
정의
열린 집합은 위상의 원소이다. 이와 동치로, 모든 점이 내부점인 집합이 열린 집합이다. 여기서 내부점이란, 어떤 집합의 부분집합이 되는 근방이 존재하는 점을 말한다.
정의에 따라 열린 집합이 무조건 닫히지 않은 것은 아니며, ??????? 머라고요? 열림과 동시에 닫힌 집합도 있다. [math]\displaystyle{ \mathbb R^2 \sim \mathbb C }[/math]는 열려 있으면서 닫힌 집합의 예. 물론 그 반대로 열려 있지도 닫혀 있지도 않은 [math]\displaystyle{ \{1/n: \; n\in\mathbb N\} }[/math] 같은 집합도 있다.
성질
- 거리공간에서 근방은 거리가 일정 미만인 집합으로 정의되는데, 이는 열려 있다.
- 열린 집합의 여집합은 닫혀 있다.
- 열린 집합의 가산합집합은 열려 있고, 유한교집합 역시 열려 있다. 하지만 유한하지 않은 가산 교집합은 닫혀 있을 수도 있다.