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거리공간에서 '''열린 집합'''(개집합, 開集合, open set)은 어떤 원소에 미소한 움직임이 있어도 다시 그 집합에 속하는 집합을 말한다. 즉, 열린 집합의 모든 원소(점)은 내부점(interior point)이다.<ref>Walter Rudin, "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill Book Company</ref> | 거리공간에서 '''열린 집합'''(개집합, 開集合, open set)은 어떤 원소에 미소한 움직임이 있어도 다시 그 집합에 속하는 집합을 말한다. 즉, 열린 집합의 모든 원소(점)은 내부점(interior point)이다.<ref>Walter Rudin, "[[Principles of Mathematical Analysis]]", McGraw-Hill Book Company</ref> | ||
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[[위상공간]] ''X''와 그 부분집합 ''S''가 있다. 이때 ''S''의 부분집합 ''A''에 대하여, ''X''의 열린 부분집합 ''U''가 존재하여 <math>U \cap S = A</math>이면 ''A''는 ''S''에 '''상대적으로 열려 있다'''(''A'' is open relative to ''S'', or is relatively open to ''S'')고 한다. 이는 [[거리공간]] ''X''에서 다음과 동치이다: | [[위상공간]] ''X''와 그 부분집합 ''S''가 있다. 이때 ''S''의 부분집합 ''A''에 대하여, ''X''의 열린 부분집합 ''U''가 존재하여 <math>U \cap S = A</math>이면 ''A''는 ''S''에 '''상대적으로 열려 있다'''(''A'' is open relative to ''S'', or is relatively open to ''S'')고 한다. 이는 [[거리공간]] ''X''에서 다음과 동치이다: | ||
: <math>\forall p \in S, \exists r>0 \text{ s.t. } \left( d(p, q)<r \text{ and } q\in S\right) \Rightarrow q \in A.</math> | : <math>\forall p \in S, \exists r>0 \text{ s.t. } \left( d(p, q)<r \text{ and } q\in S\right) \Rightarrow q \in A.</math> | ||
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2015년 5월 23일 (토) 01:14 판
거리공간에서 열린 집합(개집합, 開集合, open set)은 어떤 원소에 미소한 움직임이 있어도 다시 그 집합에 속하는 집합을 말한다. 즉, 열린 집합의 모든 원소(점)은 내부점(interior point)이다.[1]
정의
열린 집합은 위상의 원소이다.[2] 사실, 별다른 의미가 있는 문장은 아니고, 위상 공간 자체가 보통 임의의 집합 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] 와 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] 에 정의된 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{O} }[/math] 의 쌍 [math]\displaystyle{ (\mathcal{T}, \mathcal{O}) }[/math] 로 정의되는데, 저 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{O} }[/math] 자체를 보통 모든 열린 집합의 집합으로 정의하기때문에, 문자 그대로 열린 집합은 위상의 원소가 된다. 사실, 위상 공간은 닫힌 집합이나 근방을 이용해서도 열린 집합으로 정의한 위상 공간과 동치로 정의할 수 있다.[3] 거리 공간에서는, 모든 점이 내부점인 집합이 열린 집합이다. 여기서 내부점이란, 어떤 집합의 부분집합이 되는 열린 공이 존재하는 점을 말한다.
정의에 따라 열린 집합이 무조건 닫히지 않은 것은 아니며, ??????? 머라고요? 열림과 동시에 닫힌 집합도 있다. [math]\displaystyle{ \mathbb R^2 \sim \mathbb C }[/math]는 열려 있으면서 닫힌 집합의 예. 사실, 보다 간단한 예시는 공집합과 전체 집합이다. 이 둘은 위상 공간의 정의상, 항상 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이다. 물론 그 반대로 열려 있지도 닫혀 있지도 않은 [math]\displaystyle{ \{1/n: \; n\in\mathbb N\} }[/math] 같은 집합도 있다. 위상수학을 배우는 히틀러
성질
- 거리공간에서 근방은 거리가 일정 미만인 집합으로 정의되는데, 이는 열려 있다.
- 여집합이 열린 집합인 집합을 닫힌 집합이라 정의한다.
- 열린 집합의 합집합은 열려 있고, 유한교집합 역시 열려 있다. 하지만 유한하지 않은 교집합은 열려있지 않을 수도 있다.
상대적으로 열린 집합
위상공간 X와 그 부분집합 S가 있다. 이때 S의 부분집합 A에 대하여, X의 열린 부분집합 U가 존재하여 [math]\displaystyle{ U \cap S = A }[/math]이면 A는 S에 상대적으로 열려 있다(A is open relative to S, or is relatively open to S)고 한다. 이는 거리공간 X에서 다음과 동치이다:
- [math]\displaystyle{ \forall p \in S, \exists r\gt 0 \text{ s.t. } \left( d(p, q)\lt r \text{ and } q\in S\right) \Rightarrow q \in A. }[/math]
각주
- ↑ Walter Rudin, "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill Book Company
- ↑ James R. Munkres, "Topology (2nd Edition)", Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458
- ↑ Klaus Jänich, "Topology"