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2015년 5월 11일 (월) 17:03 판
열린 집합(개집합, 開集合, open set)은 어떤 원소에 미소한 움직임이 있어도 다시 그 집합에 속하는 집합을 말한다. 즉, 열린 집합의 모든 원소(점)은 내부점(interior point)이다.[1]
정의
열린 집합은 위상의 원소이다.[2] 이와 동치로, 모든 점이 내부점인 집합이 열린 집합이다. 여기서 내부점이란, 어떤 집합의 부분집합이 되는 근방이 존재하는 점을 말한다.
정의에 따라 열린 집합이 무조건 닫히지 않은 것은 아니며, ??????? 머라고요? 열림과 동시에 닫힌 집합도 있다. [math]\displaystyle{ \mathbb R^2 \sim \mathbb C }[/math]는 열려 있으면서 닫힌 집합의 예. 물론 그 반대로 열려 있지도 닫혀 있지도 않은 [math]\displaystyle{ \{1/n: \; n\in\mathbb N\} }[/math] 같은 집합도 있다.
성질
- 거리공간에서 근방은 거리가 일정 미만인 집합으로 정의되는데, 이는 열려 있다.
- 열린 집합의 여집합은 닫혀 있다.
- 열린 집합의 가산합집합은 열려 있고, 유한교집합 역시 열려 있다. 하지만 유한하지 않은 가산 교집합은 닫혀 있을 수도 있다.
상대적으로 열린 집합
위상공간 X와 그 부분집합 S가 있다. 이때 S의 부분집합 A에 대하여, X의 열린 부분집합 U가 존재하여 [math]\displaystyle{ U \cap S = A }[/math]이면 A는 S에 상대적으로 열려 있다(A is open relative to S, or is relatively open to S)고 한다. 이는 거리공간 X에서 다음과 동치이다:
- [math]\displaystyle{ \forall p \in S, \exists r\gt 0 \text{ s.t. } \left( d(p, q)\lt r \text{ and } q\in S\right) \Rightarrow q \in A. }[/math]