실수

실수(實數, real number)는 실수 집합의 원소를 말한다. 실수 집합 [math]\displaystyle{ \Bbb R }[/math]은 아래의 세 공리(계)를 만족하는 집합이며, 그 존재성은 유리수 집합이 존재할 때 보일 수 있다.

개요

고등학교 교육과정에서, 실수 집합은 유리수 집합과 무리수 집합의 합집합으로 정의하고, 무리수는 실수 중 유리수가 아닌 수로 정의한다. 순환논리 실수를 십진 전개 소수로 나타낼 수 있는 수로 정의하기도 한다. 하지만 이는 극한을 먼저 정의해야 할 뿐만 아니라 실수 집합의 성질을 잘 나타내지 못하는 정의이다.

현대에는 실수 집합을 후술하는 세 공리를 만족하는 집합으로 정의한다. 실수 집합은 유리수 집합과는 완비성을 가진다는 점에서 다르다. 예를 들어, 다음의 집합을 상정해보자:

[math]\displaystyle{ \left\{ \lfloor 10^{i}\sqrt{2} \rfloor 10^{-i}: \; i \in \Bbb N \cup \{0\}\right\}=\{1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \cdots\} }[/math]

이는 분명 유리수 집합의 위로 유계된 부분집합이지만, 이 집합의 상한 [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]은 유리수가 아니다. 즉, 유리수 집합은 완비성을 가지지 않는 것이다.

이쯤 되면 ‘실수 집합이 과연 존재하는가?’라는 질문을 가질 수도 있을 것이다. 놀랍게도, 실수 집합은 유리수를 이용하여 만들(모델링) 수 있다. 이때 유리수 집합은 정수 집합에서, 정수 집합은 (0을 포함한) 자연수 집합에서 이끌어낼 수 있으므로, 자연수 집합의 존재만 가정하면 자연히 실수 집합은 존재하게 된다.

실수 집합의 정의

실수 집합은 다음의 세 공리를 만족하는 집합으로 정의한다:

• 체 공리
• 순서 공리
• 완비성 공리