시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/삼각함수 공식을 외워보자

외우기 위한 배경지식

모든 것의 기본은 이거다.

• [math]\displaystyle{ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 }[/math]: 피타고라스의 정리
• [math]\displaystyle{ \tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x} }[/math]: 탄젠트의 정의(라고 생각해 두자).

그리고 삼각함수의 값이 어떻게 돌아가는지 ‘감’을 잡을 필요가 있다. 예를 들어 이런 질문을 생각해 보자.

예제 1) [math]\displaystyle{ \sin x = 3/5 }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \cos x }[/math]랑 [math]\displaystyle{ \tan x }[/math]는 얼마게?

‘감’이 있다는 것은 이런 질문을 보자마자 cos x = 4/5, tan x = 3/4라는 답이 나오는 것을 말한다.

이제 이 ‘감’의 내용을 찬찬히 따라가 본다.

1. 일단 머릿속에 sin x = 3/5인 직각삼각형 하나를 떠올리는 것이 제일 좋다. 빗변 5, 높이 3인 직각삼각형이면 될 것 같다.
2. 이제 위 ‘기본’을 쓴다. 앞서의 직각삼각형이 떠오른 채로 쓰면 훨씬 쉽고, 아니어도 별 상관 없다.
   • 우선 피타고라스의 정리를 쓰면 cos x를 알 수 있다. sin x가 3/5니까, cos x는 …… √(5²−3²) / 5일 것이고, 이는 4/5이다.
     이런 계산을 몇 번 해 보다 보면 나중에는 “sin x가 5분의 뭐시기니까, cos x도 5분의 뭐시기일 것이다. 그리고 3²+4²=5²이므로 4/5” 정도로 생각하면 된다.
   • 탄젠트의 정의를 쓰면 (분모가 같으므로) 분자만 똑똑 떼 내면 됨을 알 수 있다. 3/4이다.

사실 정확하게는 cos x = ±4/5이고 따라서 tan x = ±3/4라고 하여야 한다. x의 범위를 모르면 함부로 +라고 단정할 수 없다. 아마 보통 문제에 x의 범위가 주어져 있을 것이다. 지금은 예각이면 +, 둔각이면 −.

이번엔 이런 질문을 생각해 보자.

예제 2) [math]\displaystyle{ \tan x = 4/3 }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \sin x }[/math]랑 [math]\displaystyle{ \cos x }[/math]는 얼마게?

이런 질문도 보자마자 sin x = 4/5, cos x = 3/5라는 답이 나와야 한다.

1. 이번에도 머릿속에 tan x = 4/3인 직각삼각형 하나를 떠올리는 것이 가장 좋다. 밑변 3, 높이 4인 직각삼각형이면 될 것 같다.
2. 일단 탄젠트의 분자와 분모가 각각 사인과 코사인의 분자로 쪼개지는 것은 익숙할 것이다(익숙해야 한다. 탄젠트의 정의 때문이다. 아까 위에서 분자만 똑똑 떼 낸 거랑 똑같은 이치이다).
3. 그럼 분모는 뭘까? 답은 3²+4²=5²니까 5이다. 왜냐고? 피타고라스의 정리이다. 그럼 답 나왔다. sin x = 4/5, cos x = 3/5이다.

물론 이번에도 정확하게는 sin x = ±4/5이고 cos x = ±3/5라고 하여야 한다(둘 다 양이든지 둘 다 음). x가 예각이면 +, x가 180˚ 초과 270˚ 미만이면 −.

기본 공식

여기의 mnemonic은 대부분 공지의 것들이다.

합차공식

너무 유명하다.

삼각함수의 합차공식

[math]\displaystyle{ \sin (x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y }[/math]	싸코(플)코싸
[math]\displaystyle{ \cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y }[/math]	코코(마)싸싸
[math]\displaystyle{ \tan (x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y} }[/math]	일마탄탄 탄플탄

덧셈공식과 곱셈공식

본질적으로 위 합차공식의 변형이긴 한데, 안 외워 두면 좀 불편할 것이다. 덧셈공식과 곱셈공식 둘 중 하나만 외우면 되는데, 개인차가 있지만 덧셈공식이 좀 더 외우기 깔끔하다.

삼각함수의 덧셈공식

[math]\displaystyle{ \sin x + \sin y = 2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) }[/math]	신프신 이신코
[math]\displaystyle{ \sin x - \sin y = 2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) }[/math]	신마신 이코신
[math]\displaystyle{ \cos x + \cos y = 2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) }[/math]	코프코 이코코
[math]\displaystyle{ \cos x - \cos y = -2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) }[/math]	코마코 마이신신

<외우는 법>

• 일단 ‘코마코 마이신신’부터 외운다(제일 잘 외워짐).
  • 그리고 친구에게 써 주자. “야 이 코마코 마이신신 같은 놈아!” “뭐 이 싸싸는 마코마코 반 같은 놈아?!”
• 우변이 앞의 합차공식의 싸코코싸 코코싸싸랑 순서가 같은 것을 확인한다(싸코/ 코싸/ 코코/ 싸싸. 즉 외울 게 없다).
• 좌변의 +/−가 바뀌면 우변은 사인/코사인이 바뀐다. 공식이 그런 느낌의 feeling이라고 기억해 두자.
• 밑의 곱셈공식 때문에 우변의 사인코사인 안에 1/2이 들어가는지 안 들어가는지 헷갈릴 수 있다.
  교차검증: 첫 줄 ‘신프신 이신코’에 y=x를 대입해 본다. 2 sin x = 2 sin x가 나와야 한다.
• 참고로 사인끼리만 더하고 빼고 코사인끼리만 더하고 뺀다. [math]\displaystyle{ \sin x + \cos y }[/math] 이런 공식 없다.

삼각함수의 곱셈공식

[math]\displaystyle{ \sin x \cos y = \frac{1}{2} \left\{ \sin (x+y) + \sin (x-y) \right\} }[/math]	신코는 신프신 반	상고는 생생
[math]\displaystyle{ \cos x \sin y = \frac{1}{2} \left\{ \sin (x+y) - \sin (x-y) \right\} }[/math]	코신은 신마신 반	고삼은 생고생
[math]\displaystyle{ \cos x \cos y = \frac{1}{2} \left\{ \cos (x+y) + \cos (x-y) \right\} }[/math]	코코는 코프코 반	공고는 코풀고
[math]\displaystyle{ \sin x \sin y = -\frac{1}{2} \left\{ \cos (x+y) - \cos (x-y) \right\} }[/math]	신신은 마코마코 반	상상은 마구마구

<외우는 법>

• 둘째 열은 (하이탑에 있던 것인데) 오지게 안 외워질 것이다. 셋째 열을 추천한다.
  • 한편 ‘상고’랑 ‘공고’가 왜 나오는지는 모르겠다. 악감정은 없다. ‘상상’은 성적인 어기가 있는 듯하다.
• 사실 합차공식 더하고 빼고 하면 외울 것도 없긴 한다. ‘마코마코’ 정도만 확인하면 될 듯.
• 위의 덧셈공식 때문에 우변의 사인코사인 안에 1/2이 들어가는지 안 들어가는지 헷갈릴 수 있다.
  교차검증: 윗줄 두 개 더해서 사인의 합공식이 나와야 한다.

배각공식

합공식에 [math]\displaystyle{ x = y }[/math] 대입하면 된다.

삼각함수의 배각공식

[math]\displaystyle{ \sin 2x = 2 \sin x \cos x }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x }[/math]

[math]\displaystyle{ \tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} }[/math]

어려운 공식

여기부터의 mnemonic은 일반적으로 알려진 것이 없는 듯하다. 더 괜찮은 것이 있으면 수정바람

세배각공식

외우지 말자. 정 필요하면 드 무아브르의 공식(De Moivre’s formula) [math]\displaystyle{ \cos nx + i \sin nx = \left( \cos x + i \sin x \right)^n }[/math]을 전개해서 쓰자.

삼각함수의 세배각공식

[math]\displaystyle{ \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x }[/math]	삼일마사삼
[math]\displaystyle{ \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x }[/math]	사삼마삼일
[math]\displaystyle{ \tan 3x = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x} }[/math]	일마삼이 삼일마일삼

곁수와 지수를 외우는 것이다.

사인은 삼일마사삼인데 탄젠트는 삼일마일삼인 이유는 피타고라스의 정리 때문이다.

반각공식

왠지 코사인이 나올 것 같은 느낌의 feeling을 가지면 된다.

삼각함수의 반각공식

[math]\displaystyle{ \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} }[/math]	마반
[math]\displaystyle{ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} }[/math]	플반
[math]\displaystyle{ \tan^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} }[/math]	플분의마

<외우는 법>

• 위의 둘은 코사인의 배각공식에다가 [math]\displaystyle{ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 }[/math](피타고라스 정리) 가지고 장난질해서 얻는다.
  • 즉, [math]\displaystyle{ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x }[/math].
• 탄젠트는 그냥 탄젠트의 정의!
• 좌변에 제곱 있다. 까먹지 말자.

[math]\displaystyle{ \tan \tfrac{x}{2} = t }[/math]로 나타내는 공식

이게 끝판왕이다. 왠지 [math]\displaystyle{ 1 \pm t^2 }[/math]랑 [math]\displaystyle{ 2t }[/math]가 나올 것 같은 느낌의 feeling을 가지면 된다.

삼각함수를 [math]\displaystyle{ \tan \tfrac{x}{2} = t }[/math]로 나타내는 공식

[math]\displaystyle{ \sin x = \frac{2t}{1+t^2} }[/math]	일프탄 이탄
[math]\displaystyle{ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} }[/math]	일프탄 일마탄
[math]\displaystyle{ \tan x = \frac{2t}{1-t^2} }[/math]	일마탄 이탄

<외우는 법>

• 탄젠트는 사실 배각공식이다.
• 탄젠트의 분자와 분모가 각각 사인과 코사인의 분자로 쪼개지는 건 아까 경험해서 알 것이다.
• 그러면 분모가 문젠데……, 왠지 [math]\displaystyle{ 1-t^2 }[/math]이랑 [math]\displaystyle{ 2t }[/math]랑 제곱해서 더하면 [math]\displaystyle{ 1+t^2 }[/math]의 제곱이 될 것 같은 느낌을 가지면 된다.
  • 이는 사실 [math]\displaystyle{ (a^2-b^2)^2 + 4a^2b^2 = (a^2+b^2)^2 }[/math]라는 공식이고, [math]\displaystyle{ (a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2 }[/math] 꼴로 쓰면 더 익숙할 것이다. 곱셈공식과 인수분해공식은 이럴 때 쓰려고 배운 것이다.

이 공식은 어디다 쓸까? 나중에 곡선 매개화할 때, 그리고 치환적분할 때 쓸 일이 평생 한 번 정도 있을 것이다.