속도

단위 시간당 변위의 변화량.

SI 단위계로는 주로 m/s를 사용한다.

평균 속도

서로 다른 운동들을 비교하는 보통의 방법은 변위 [math]\displaystyle{ \Delta \mathbf x }[/math]를 변위가 일어난 시간 간격 [math]\displaystyle{ \Delta t }[/math]로 나누는 것이다. 이 비율을 평균 속도(average velocity)라고 하며 한 입자의 평균속도 [math]\displaystyle{ \mathbf v_{\text{avg}} }[/math]는 입자의 변위 [math]\displaystyle{ \Delta \mathbf x }[/math]와 시간 [math]\displaystyle{ \Delta t }[/math]의 비로 정의된다.

[math]\displaystyle{ \mathbf v_{\text{avg}} \stackrel{\text{def}}{\equiv} \frac{\Delta \mathbf x}{\Delta t} }[/math]

순간 속도

어떤 시간 간격에 대한 평균 속도가 아닌 특정한 순간의 입자의 속도를 알아야 할 때가 있다. 즉, 평균 속도의 시간 간격을 0으로 접근하게 하면 그 순간의 속도를 알 수 있고, 다음을 순간 속도(instantaneous velocity)라 한다.

[math]\displaystyle{ \mathbf v \stackrel{\text{def}}{\equiv} \lim _{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \mathbf x}{\Delta t} = \frac{\mathrm d \mathbf x}{\mathrm d t}. }[/math]

등속도 운동하는 입자의 분석

입자의 속도가 일정하면, 시간 간격 내 어떤 순간에서의 순간 속도는 이 구간에서의 평균 속도와 같다. 다시 말하면 [math]\displaystyle{ \forall t, \, \, \mathbf v = \mathbf v_{\text{avg}} }[/math]이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ {\mathbf v}_\text{avg} = \frac{\Delta \mathbf x}{\Delta t} }[/math]로부터 다음 식을 얻는다.

[math]\displaystyle{ \mathbf v = \frac{\Delta \mathbf x}{\Delta t} }[/math]

여기서 처음 변위를 [math]\displaystyle{ {\mathbf x}_{\mathrm i} }[/math], 나중 변위를 [math]\displaystyle{ {\mathbf x}_{\mathrm f} }[/math]이라 하면

[math]\displaystyle{ {\mathbf x}_{\mathrm f} = {\mathbf x}_{\mathrm i} + {\mathbf v} \Delta t }[/math]

이다. 이 식은 입자의 나중 위치가 처음 위치 [math]\displaystyle{ \mathbf x _ \mathrm i }[/math]와 시간 간격 [math]\displaystyle{ \Delta t }[/math] 동안에 생긴 변위 [math]\displaystyle{ \mathbf v \Delta t }[/math]와의 합(벡터)임을 말해준다.

속도와 변위, 이동 거리, 가속도와의 관계

먼저 속도는 위치의 도함수이므로:

[math]\displaystyle{ \mathbf v \stackrel{\text{def}}{\equiv} \frac{\mathrm d \mathbf x}{\mathrm d t}, }[/math]

속도를 시간에 대하여 적분하면 변위가 된다.

[math]\displaystyle{ \Delta \mathbf x = \int_{t_\mathrm i}^{t_\mathrm f} \mathbf v \, \mathrm d t. }[/math]

속도가 아닌 속력(속도의 크기)을 시간에 대하여 적분하면 이동 거리가 된다.

[math]\displaystyle{ s = \int_{t_\mathrm i}^{t_\mathrm f} |\mathbf v | \, \mathrm d t. }[/math]

가속도는 속도의 시간에 대한 변화율로 정의된다.

[math]\displaystyle{ \mathbf a = \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}. }[/math]

속도의 합

고전역학에서 속도의 합은 단순히 벡터의 합으로 정의된다. 속도 [math]\displaystyle{ \mathbf v_1 , \, \mathbf v_2 }[/math]의 합벡터를 [math]\displaystyle{ \Sigma \mathbf v }[/math]로 표기하면,

[math]\displaystyle{ \Sigma \mathbf v \stackrel{\text{classical}}{\equiv} \mathbf v_1 + \mathbf v_2 }[/math]

이다. 하지만 특수 상대론에 의하면, 속도가 빨라지면 그의 로렌츠 인자가 커지기 때문에 시간과 길이에 변화가 있어 단순히 합산을 하면 계산이 되지 않는다. 특수 상대론에서 속도의 합을 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ \Sigma \mathbf v \stackrel{\text{relativity}}{\equiv} \frac{\mathbf v_1 + \mathbf v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}. }[/math]

이에 의하면 광속 불변의 원리를 보일 수 있다. 물론 광속이 불변하도록 정의를 한 거지만 [math]\displaystyle{ \mathbf v_1 = c \mathbf e = \mathbf c }[/math]라 하고, [math]\displaystyle{ \mathbf v_2 = \mathbf v }[/math]의 방향이 [math]\displaystyle{ \mathbf c }[/math]와 같다고 하자. 이때 속도의 합은

[math]\displaystyle{ \Sigma \mathbf v = \frac{\mathbf c + \mathbf v}{1 + \frac{c v}{c^2}} = c\frac{\mathbf c + \mathbf v}{c+v} = c \frac{(c+v)\mathbf e}{c+v} = c\mathbf e = \mathbf c. }[/math]

으로 다시 [math]\displaystyle{ \mathbf c }[/math]가 된다.

신속도

위의 귀찮은 짓을 버리기 위하여, 단순히 합산하여 계산하여도 문제가 없는 신속도(rapidity)를 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ \phi = \operatorname{artanh}(v/c) }[/math].

즉 [math]\displaystyle{ v = c\tanh \phi }[/math]이고, 속도의 합 공식에 대입하면

[math]\displaystyle{ \Sigma v = c\tanh \Sigma\phi = \frac{c\tanh \phi_1 + c\tanh \phi_2}{1+\frac{c\tanh \phi_1 \cdot c\tanh \phi_2}{c^2}} = c\frac{\tanh \phi_1 + \tanh \phi_2}{1+\tanh \phi_1 \tanh \phi_2} = c\tanh (\phi_1 + \phi_2) }[/math]

에서 [math]\displaystyle{ \Sigma\phi = \phi_1 + \phi_2 }[/math]임을 알 수 있다. 즉, 특수 상대론에서는 속도 대신 신속도를 쓰면 계산이 훨씬 편해진다.