선형대수학

선형대수학은 벡터공간과 선형사상을 다루는 대수학의 분야이다. 수학내부 뿐만이 아니라 공학과 물리학에서도 다방면으로 활용되고, 따라서 현대문명의 많은 것을 가능하게 한 똘똘한 학문이다.

뭐가 그렇게 중요한걸까?

선형대수는 "선형변환"을 다루는 학문이며, 선형변환이란 것은 매우 다양한 현상을 표현하는데에 사용될 수 있다.

• 3차원에 있는 2차원 그림을 인간이 보는 시각으로 사영하는 행위는 일종의 선형변환이다. 따라서 선형대수는 컴퓨터 그래픽에 널리 사용된다.

• 넷플릭스와 같은 영화 스트리밍 사이트에서 영화 추천 서비스를 할 때 선형대수를 적극 활용한다. 예를 들어, 사용자가 "다크 나이트"에 4.5점을, "과속스캔들"에 1.0점을 줬다면 "트랜스포머"에는 몇점을 줄까? 라는 질문에 대해 컴퓨터가 자동으로 대답하게 함으로써 적절한 추천목록을 만드는 것이다. 이를 위하여 큰 N에 대해 N차원 선형대수로 특정 값을 최대/최소화 하는 접근방식이 쓰이곤 한다.

• 컴퓨터가 사물을 인지하게 하는 인공지능의 일종인 컴퓨터 비전에서, 카메라가 받는 영상의 "모서리"를 판별할 때 선형대수를 사용한다. 이미지를 픽셀단위로 본 후 x, y 방향의 명도 변화를 2차원 행렬에 담고 이 행렬을 eigendecompose 함으로써 적당한 회전 후 명도변화가 큰 부분이 어디인지를 감지할 수 있는 것이다. 즉 "다양한 정보를 행렬에 담을 수 있다"는 것과 "회전 역시 선형변환이므로 선형변환은 다양한 현상을 모델링할수 있다"는 것이 키 포인트인 것이다. 소위 "해리스의 모서리 탐지기"에 대해 찾아보면 더 자세한 정보를 얻을 수 있다.

• 우리 현실을 아주 정확하게 모델링하는 양자역학에서 "무한차원 선형대수"를 한다. 양자역학에서, 관측 가능한 상태는 어떤 작용소의 고유값 (eigenvalue)로써 해석이 가능하며, 이것은 실질적으로 무한행렬의 고유값을 구하는것과 마찬가지인 행위이다. 각 상태를 함수로 보고, 이 함수들을 모두 모음으로써 "무한차원 벡터공간"을 힐베르트 공간이라고 하는데, 이 공간에서 특정 작용소는 무한행렬의 곱셈과 마찬가지로 작용한다. 이 행렬의 고유값은 작용소에 대한 관측값이 된다! 고유벡터 (eigenvector) 혹은 고유함수 (eigenfunction)은 유한차원 벡터공간에서 eigendecomposition을 하듯이 이 고유함수들로 임의의 상태를 선형조합으로 나타낼 수 있게 된다.

• 수학에서... 너무 많이 쓰인다.
  • 군을 더 이해하기 쉬운 대상으로 공부하기 위하여 군의 각 원소를 행렬로 생각하자는 접근이 소위 표현론이다.
  • 선형대수에서 다루는 대상인 벡터공간의 일반화가 가군 (module)을 고려하는 것인데, 가군의 개념은 위상수학 (호몰로지 군들은 가군들이다), 대수기하 (O_X 가군의 고려 추가바람), 정수론 (새로운 수체계를 만들기 위해 fractional ideal을 만드는데, fractional ideal은 유한생성 가군이다), 등등 너무 많다.

굳이 안말한 것이지 추가바람 이 이외에도 정말 다양하게 쓰인다.

선형대수학의 주제

• 벡터공간(Vector space)
  • 부분공간(Subspace)
  • 벡터공간의 기저(basis)
  • 벡터공간의 차원(dimension)
  • 몫공간(Quotient space)
• 행렬(matrix)
  • 가우스 소거법(Gaussian elimination)
  • 행 간소 사다리꼴(Row‐reduced echelon form)
  • 계수(階數) 정리(Rank theorem)
• 선형사상(Linear transformation)
  • 차원 정리(Dimension theorem)
  • Linear extension theorem
  • 선형대수학의 기본정리
  • 행렬과 선형사상의 행렬식(determinant)
• 고윳값(Eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)
  • 행렬의 대각화(diagonalization)
  • 특성다항식(characteristic polynomial)과 극소다항식(minimal polynomial)
  • 케일리–해밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)
  • 고유공간 분해(Eigenspace decomposition)
• 내적공간(Inner product space)
  • 직교군(Orthogonal group)과 유니터리군(unitary group)
  • 그램–슈미트 과정(Gram–Schmidt process)
• 쌍선형 형식(Bilinear form)과 에르미트 형식(Hermitian form)
  • 쌍대공간(Dual space)과 쌍대성(duality)
• 스펙트럼 정리(Spectral theorem)