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순서쌍

순서쌍(順序-, ordered pair)은 두 대상을 순서를 고려하여 묶은 것을 말한다. 집합론에서 흔히 [math]\displaystyle{ (a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\} }[/math]으로 정의한다. 순서쌍은 2-tuple과도 같으며, 보통 [math]\displaystyle{ n }[/math]-tuple은 순서쌍을 이용하여 귀납적으로 정의된다.

순서를 고려하지 않는 쌍은 무순서쌍(無順序-, unordered pair)이라고 하며, 이는 단순히 두 대상을 모아둔 집합에 불과하다. 그런 의미에서 무순서쌍을 쌍집합(pair set)이라고도 한다. 보통 [math]\displaystyle{ \{a, b\} }[/math]를 [math]\displaystyle{ a \ne b }[/math]일 때만 무순서쌍이라고 하고, [math]\displaystyle{ a=b \rightarrow \{a,b\} = \{a\} }[/math]는 단지 한원소집합에 불과하다. 하지만 multiset을 도입하여 [math]\displaystyle{ \{a,a\} }[/math]를 무순서쌍으로 보기도 한다.

일반적인 정의

순서쌍을 정의하는 방법은 많지만, 그 정의들은 다음 성질을 만족해야 한다:

[math]\displaystyle{ (a, b) = (c, d) \Longleftrightarrow a=c \wedge b=d. }[/math]

즉, 순서쌍이 같으려면 그 좌표(coordinate)끼리 같아야 한다. 이 정의에 부합하는 정의 역시 (무한히) 만들어낼 수 있지만, 보통 다음의 카지미에시 쿠라토프스키에 의한 정의를 이용한다.

[math]\displaystyle{ (a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\} }[/math].

이 정의에서는 순서쌍 [math]\displaystyle{ p }[/math]의 첫 번째 좌표를 [math]\displaystyle{ \forall S \in p[a\in S] }[/math]인 [math]\displaystyle{ a }[/math]로 정의할 수 있다. 두 번째 좌표는 순서쌍에 속하는 두 집합에 공통으로 들어가는 대상이 아니므로 [math]\displaystyle{ \exists S \in p[b \in S] \wedge \forall S_1, S_2 \in p[S_1 \ne S_2 \rightarrow \neg(b\in S_1 \cap S_2)] }[/math]인 [math]\displaystyle{ b }[/math]로 정의할 수 있다.

이 정의를 이용하면 [math]\displaystyle{ (a, b) = (c, d) \Longleftrightarrow a=c \wedge b=d. }[/math]를 보일 수 있으며, 그 증명은 아래와 같다.

증명 충분조건: [math]\displaystyle{ a = c \wedge b = d\rightarrow (a,b)=\{\{a\}, \{a, b\}\} = \{\{c\}, \{c, d\}\}=(c,d) }[/math] 필요조건: 두 가지 경우를 생각하자: [math]\displaystyle{ a = b, \; a ≠ b. }[/math] [math]\displaystyle{ a =b\leftrightarrow (a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}=\{\{a\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}\rightarrow \{c\}=\{c,d\}=\{a\}\rightarrow c=a=d=b. }[/math] [math]\displaystyle{ a\ne b \leftrightarrow a\ne b \wedge (a=c \vee a \ne c). \quad a\ne b \wedge a \ne c\rightarrow\{a\}\ne \{c\}\wedge \{a\}\ne \{c,d\}\rightarrow (a,b)\ne (c,d) \; }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ a=c\rightarrow b =d }[/math]이다.

Tuple

이와 관련한 내용은 Tuple에서 볼 수 있습니다.

[math]\displaystyle{ \mathbf n }[/math]-tuple은 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 대상을 순서를 고려하여 나열한 것을 말한다. 이는 유한수열과도 같으며, 순서쌍을 이용하여 귀납적으로 정의된다:

[math]\displaystyle{ (a_1, a_2, \cdots, a_n) := ((a_1, a_2, \cdots , a_{n-1}),a_n). }[/math]

이와 일대일 대응인 정의로는 [math]\displaystyle{ (a_1, \cdots, a_n)=f:i \mapsto a_i = \{(i, a_i):i\in\{1, \cdots, n\}\} }[/math]가 있다.

카테시언 곱

이와 관련한 내용은 카테시언 곱에서 볼 수 있습니다.

정렬된 집합족 [math]\displaystyle{ \mathcal A =\{A_i\}_{i\in I} }[/math]와 그 파라미터 [math]\displaystyle{ I=\{i_j:j=1,\cdots , n\} }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ \prod\mathcal A=\prod _{i\in I}A_i = A_{i_1} \times \cdots \times A_{i_n}:=\{(a_i)_{i\in I}:a_i \in A_i\}=\{(a_{i_1},\cdots, a_{i_n}):a_{i_j}\in A_{i_j}\} }[/math]을 [math]\displaystyle{ \mathcal A }[/math]의 카테시언 곱(Cartesian product)이라 한다.

결합기하학

결합기하학(incidence geometry)은 결합구조를 연구하는 학문이다. 해석기하학과 달리 점, 선, 그리고 그 결합만을 생각한다.

결합구조

Let [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math], [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]([math]\displaystyle{ \mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset }[/math]) and [math]\displaystyle{ \mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L }[/math] be sets, we call

[math]\displaystyle{ \sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I) }[/math]

a incidence structure, or a geometric structure. If [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math] and [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math] are finite sets, we call [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] a finite incidence structure.

For given [math]\displaystyle{ p, q\in\mathscr P }[/math], if [math]\displaystyle{ \exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I }[/math], we say [math]\displaystyle{ p }[/math] and [math]\displaystyle{ q }[/math] are jointed, and we say [math]\displaystyle{ L }[/math] is decided by [math]\displaystyle{ p }[/math] and [math]\displaystyle{ q }[/math] if there is only one line [math]\displaystyle{ L }[/math](we call it the join [math]\displaystyle{ pq:=L }[/math].) Similarly, given [math]\displaystyle{ L, M\in \mathscr L }[/math], if [math]\displaystyle{ \exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I }[/math], we say [math]\displaystyle{ L }[/math] and [math]\displaystyle{ M }[/math] meet, and we say [math]\displaystyle{ p }[/math] is decided by [math]\displaystyle{ L }[/math] and [math]\displaystyle{ M }[/math] if there is only one point [math]\displaystyle{ p }[/math](we call it the intersection [math]\displaystyle{ p:=L\cap M }[/math].) And also denote [math]\displaystyle{ [p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L)] := [(p, L) \in \mathscr I] }[/math] and omit [math]\displaystyle{ \mathscr I }[/math].

평면

We shall call incidence structures [math]\displaystyle{ \pi=(\mathscr P , \mathscr I) }[/math] satisfying following axioms planes:

• [math]\displaystyle{ \forall p, q \in\mathscr P \exists ! L \in \mathscr L \text{ s.t. }p, q\in L, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \forall L\in\mathscr L \exists p, q\in\mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. } p, q \in L. }[/math]

아핀 평면

We call incidence structures satisfying following axioms affine planes:

• [math]\displaystyle{ \exists L \in \mathscr L, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \exists p, q\in \mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. }p,q\in L, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \exists r\in\mathscr P \text{ s.t. }r \notin L, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \forall p,q \in \mathscr P (p\ne q)\exists ! L=pq\in \mathscr L, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \forall p (\notin L) \in \mathscr P \exists ! M \in \mathscr L \text{ s.t. } p \in M \wedge L \| M. }[/math] ([math]\displaystyle{ L \| M }[/math] means [math]\displaystyle{ \not \exists L \cap M }[/math].)

And every affine plane is a plane.

실-아핀 평면

We call incidence structures [math]\displaystyle{ \alpha_\mathbb R }[/math] satisfying following axioms real affine planes:

• [math]\displaystyle{ \mathscr P \subseteq \mathbb R^2, }[/math]
• [math]\displaystyle{ L(\in \mathscr L) = \{(x,y)|ax+by+c=0 \wedge a, b, c\in\mathbb R \wedge \neg(a=0\wedge b=0) \}, }[/math]
• [math]\displaystyle{ (x_0 , y_0) \in \{ (x,y)|ax+by+c = 0\} \Longleftrightarrow ax_0 + by_0 + c = 0. }[/math]

And every real affine plane is an affine plane.

뉴턴의 운동 법칙

뉴턴의 운동 법칙(Newton's laws of motion)은 아이작 뉴턴에 의해 정립된 세 가지 물리 법칙이다.

제1 법칙: 관성의 법칙

외력이 없을 때 어떤 물체의 질량중심은 일정한 속도 (또는 운동량)을 가지고 운동한다.

관성의 법칙을 만족하는 기준틀(좌표계)를 관성기준틀(관성좌표계, 관성계)라 부르고, 즉 이는 등속도 운동을 하는 기준틀을 말한다.