비에트의 정리

Vieta's Theorem

개요

비에트의 정리, 비에트의 공식, 비에타의 정리 등, 여러가지 이름으로 불리는 정리지만, 가장 잘 알려진 이름은 바로 근과 계수의 관계일 것이다. 16세기의 프랑스 수학자 프랑수아 비에트(François Viète)의 이름을 딴 정리이며, 중학생들도 증명할 수 있을만큼 간단하지만 문제 풀 때 활용도가 높은 정리이기도 하다.

진술

임의의 복소계수 [math]\displaystyle{ n }[/math]차 방정식 [math]\displaystyle{ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0 }[/math]과 근 [math]\displaystyle{ x_1,\,x_n,\,\ldots,\,x_n }[/math]에 대해 다음이 성립한다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle\begin{cases} x_1+x_2+\cdots+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\vdots\\x_1x_2\cdots x_n=\left(-1\right)^n\frac{a_0}{a_n}\end{cases} }[/math]

간단히,

[math]\displaystyle{ \sum_{i_1 \lt \cdots \lt i_m} \prod_{j = 1}^m x_{i_j} = (-1)^n \frac{a_{n-m}}{a_n}. }[/math]

말로 풀어서 설명하면, 모든 근의 합은 [math]\displaystyle{ -\frac{a_{n-1}}{a_n} }[/math], 두 근의 곱의 합은 [math]\displaystyle{ \frac{a_{n-2}}{a_n} }[/math], 세 근의 곱의 합은 [math]\displaystyle{ -\frac{a_{n-3}}{a_n} }[/math], …, 모든 근의 곱은 [math]\displaystyle{ \left(-1\right)^n\frac{a_0}{a_n} }[/math]이라는 뜻이다. 수식으로 한번에 정리하면 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ k=1,\,2,\,\ldots,\,n }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \sum_{1\leq i_1\leq i_2\leq\cdots\leq i_k\leq n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=\left(-1\right)^k\frac{a_{n-k}}{a_n} }[/math]이 성립한다.

예시

학교에서는 2차방정식과 3차방정식에 대해 집중적으로 가르치기 때문에 비에트의 정리도 2차, 3차 방정식에 관한 문제에서 써먹게 될 것이다. 고차방정식 문제도 간혹 나오긴 하지만 근의 합과 근의 곱외에는 잘 쓰지 않는다.

• 2차 방정식 [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math]의 두 근을 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math]라 하면,

[math]\displaystyle{ \alpha+\beta=-\frac{b}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha\beta=\frac{c}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left|\alpha-\beta\right|=\frac{\sqrt{\left|b^2-4ac\right|}}{\left|a\right|} }[/math]

이 성립한다. 세 번째 식은 1, 2번째 식에서 유도 가능하다.

• 3차 방정식 [math]\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=0 }[/math]의 세 근을 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma }[/math]라 하면,

[math]\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} }[/math]

이 성립한다.

• [math]\displaystyle{ n }[/math]차 방정식 [math]\displaystyle{ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0 }[/math]에 대해,

근의 합=[math]\displaystyle{ -\frac{a_{n-1}}{a_n} }[/math]

근의 곱=[math]\displaystyle{ \left(-1\right)^n\frac{a_0}{a_n} }[/math]

이 성립한다.

증명

[math]\displaystyle{ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0 }[/math]를 인수분해하면, [math]\displaystyle{ a_n\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\cdots\left(x-x_n\right) }[/math]이다. 이걸 전개하여 계수를 비교하면 된다. 참 쉽죠?