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== 증명 ==
== 증명 ==
이하 쌍둥이 소수 세기 함수를 <math>\pi_2 (x) = \# (p: \, p\le x \wedge p \in \mathbb P \wedge (p+2) \in\mathbb P)</math>로 정의한다.
이하 쌍둥이 소수 세기 함수를 <math>\pi_2 (x) = \# (p: \, p\le x \wedge p \in \mathbb P \wedge (p+2) \in\mathbb P)</math>로 정의한다.
{{숨기기|'''Lemma.''' <math>\pi_2 (x) =O\left( \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}\right)</math>|증명들}}
{{숨기기 |  
'''Lemma 1.''' ([[아벨 합 공식{{!}}Abel's summation formula]]) <math>a_n \;\; (n\in \mathbb N)</math>이 [[복소수{{!}}복소]] [[수열]]이고 <math>\varphi(x)</math>가 [[일급 함수]]일 때, <math> A(x) :{{=}} \sum_{0 < n\le x} a_n</math>이라고 하면 <div align{{=}}center><math>\sum_{y < n\le x} a_n \varphi(n) \, {{=}}\, A(x) \varphi(x) -A(y) \varphi(y) - \int_y^x A(u)\varphi ' (u) \, \mathrm d  u</math></div>이다. |<hr/> ''Proof.'' 먼저 정의에서 <math>A(\lfloor x \rfloor ) = A(x)</math>임을 안다. 따라서 <div align{{=}}center><math>\begin{aligned}\sum_{y < n \le x} a_n \varphi(n)  & {{=}} \sum_{n {{=}} \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor} (A(n) - A(n-1)) \varphi(n) \\ &{{=}}  \sum_{n {{=}} \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor} A(n) \varphi(n) -  \sum_{n {{=}} \lfloor y \rfloor }^{\lfloor x \rfloor - 1} A(n) \varphi(n+1) \\ &{{=}} A(\lfloor x \rfloor) \varphi(\lfloor x \rfloor) + \sum_{n{{=}} \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor - 1} A(n) (\varphi(n) - \varphi(n+1)) - A(\lfloor y \rfloor) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\ &{{=}}  \sum_{n{{=}} \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor - 1} A(n)  \left( - \int_n^{n+1} \varphi ' (u) \,\mathrm d u \right) + A(\lfloor x \rfloor) \varphi(\lfloor x \rfloor) -  A(\lfloor y \rfloor) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1)  \\  &{{=}} - \int_ { \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor } A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u  + A(\lfloor x \rfloor) \varphi(\lfloor x \rfloor) -  A(\lfloor y \rfloor) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1)  \\ &{{=}} -\int_y ^x  A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u +\int_y^{\lfloor y \rfloor + 1}  A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u + \int_{\lfloor x \rfloor}^x  A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u+ A(\lfloor x \rfloor) \varphi(\lfloor x \rfloor) -  A(\lfloor y \rfloor) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\ &{{=}} -\int_y ^x  A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u +A(y)\int_y^{\lfloor y \rfloor + 1}  \varphi ' (u) \, \mathrm d u +A(x) \int_{\lfloor x \rfloor}^x\varphi ' (u) \, \mathrm d u+ A(x) \varphi(\lfloor x \rfloor) -  A(y) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\&{{=}} A(x) \varphi(x) -A(y) \varphi(y) - \int_y^x A(u)\varphi ' (u) \, \mathrm d  u. \end{aligned}</math>  </div>  }}
 
 
 
{{숨기기|'''Lemma 3.''' <math>\pi_2 (x) =O\left( \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}\right)</math>|<hr/> 증명들}}
이 Lemma를 이용하면, 쉽게 Brun의 정리를 증명할 수 있다. <math>\pi_2 (x) < C \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}< C \frac{x}{(\log x)^{3/2}}</math> for all <math>x\ge 2</math>이므로 <math>n = \pi_2(p_n) < C \frac{p_n}{(\log p_n)^{3/2}} \le C \frac{p_n}{(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이다. 따라서 <math>\frac 1 {p_n} < \frac C {n(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이고,
이 Lemma를 이용하면, 쉽게 Brun의 정리를 증명할 수 있다. <math>\pi_2 (x) < C \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}< C \frac{x}{(\log x)^{3/2}}</math> for all <math>x\ge 2</math>이므로 <math>n = \pi_2(p_n) < C \frac{p_n}{(\log p_n)^{3/2}} \le C \frac{p_n}{(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이다. 따라서 <math>\frac 1 {p_n} < \frac C {n(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이고,
<div align=center><math>\sum_{n\ge 1}\left(\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_n + 2}\right) < C\left(\frac{16}{15} + 2\sum_{n\ge 2}\frac{1}{p_n}\right )< C\left(\frac{16}{15} + 2 \sum_{n\ge 2} \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}\right)<\infty</math></div>
<div align=center><math>\sum_{n\ge 1}\left(\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_n + 2}\right) < C\left(\frac{16}{15} + 2\sum_{n\ge 2}\frac{1}{p_n}\right )< C\left(\frac{16}{15} + 2 \sum_{n\ge 2} \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}\right)<\infty</math></div>

2016년 1월 22일 (금) 21:47 판


브룬 정리

브룬 정리(Brun's theorem), 또는 브룬 추측(Brun's conjecture)은 쌍둥이 소수의 역수의 합들을 모두 더한 것이 수렴한다는 정리이다. 이 수렴값은 브룬 상수(Brun's constant)로 불리우며 보통 [math]\displaystyle{ B_2 }[/math]로 표기한다.

진술

[math]\displaystyle{ p_1, p_2, \cdots }[/math]를 쌍둥이 소수 중 작은 수라 하자. 즉 [math]\displaystyle{ p_i\in\mathbb P \wedge (p_i+2)\in\mathbb P }[/math]를 만족한다고 하자. 그렇다면 다음 급수가 수렴한다:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{p_i} + \frac{1}{p_i + 2}\right) = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) +\cdots \lt \infty }[/math]

증명

이하 쌍둥이 소수 세기 함수를 [math]\displaystyle{ \pi_2 (x) = \# (p: \, p\le x \wedge p \in \mathbb P \wedge (p+2) \in\mathbb P) }[/math]로 정의한다.

Lemma 1. (Abel's summation formula) [math]\displaystyle{ a_n \;\; (n\in \mathbb N) }[/math]이 복소 수열이고 [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math]가 일급 함수일 때, [math]\displaystyle{ A(x) :{{=}} \sum_{0 \lt n\le x} a_n }[/math]이라고 하면
[math]\displaystyle{ \sum_{y \lt n\le x} a_n \varphi(n) \, {{=}}\, A(x) \varphi(x) -A(y) \varphi(y) - \int_y^x A(u)\varphi ' (u) \, \mathrm d u }[/math]
이다.
Proof. 먼저 정의에서 [math]\displaystyle{ A(\lfloor x \rfloor ) = A(x) }[/math]임을 안다. 따라서
[math]\displaystyle{ \begin{aligned}\sum_{y \lt n \le x} a_n \varphi(n) & {{=}} \sum_{n {{=}} \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor} (A(n) - A(n-1)) \varphi(n) \\ &{{=}} \sum_{n {{=}} \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor} A(n) \varphi(n) - \sum_{n {{=}} \lfloor y \rfloor }^{\lfloor x \rfloor - 1} A(n) \varphi(n+1) \\ &{{=}} A(\lfloor x \rfloor) \varphi(\lfloor x \rfloor) + \sum_{n{{=}} \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor - 1} A(n) (\varphi(n) - \varphi(n+1)) - A(\lfloor y \rfloor) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\ &{{=}} \sum_{n{{=}} \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor - 1} A(n) \left( - \int_n^{n+1} \varphi ' (u) \,\mathrm d u \right) + A(\lfloor x \rfloor) \varphi(\lfloor x \rfloor) - A(\lfloor y \rfloor) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\ &{{=}} - \int_ { \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor } A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u + A(\lfloor x \rfloor) \varphi(\lfloor x \rfloor) - A(\lfloor y \rfloor) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\ &{{=}} -\int_y ^x A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u +\int_y^{\lfloor y \rfloor + 1} A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u + \int_{\lfloor x \rfloor}^x A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u+ A(\lfloor x \rfloor) \varphi(\lfloor x \rfloor) - A(\lfloor y \rfloor) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\ &{{=}} -\int_y ^x A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u +A(y)\int_y^{\lfloor y \rfloor + 1} \varphi ' (u) \, \mathrm d u +A(x) \int_{\lfloor x \rfloor}^x\varphi ' (u) \, \mathrm d u+ A(x) \varphi(\lfloor x \rfloor) - A(y) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\&{{=}} A(x) \varphi(x) -A(y) \varphi(y) - \int_y^x A(u)\varphi ' (u) \, \mathrm d u. \end{aligned} }[/math]



Lemma 3. [math]\displaystyle{ \pi_2 (x) =O\left( \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}\right) }[/math]
증명들

이 Lemma를 이용하면, 쉽게 Brun의 정리를 증명할 수 있다. [math]\displaystyle{ \pi_2 (x) \lt C \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}\lt C \frac{x}{(\log x)^{3/2}} }[/math] for all [math]\displaystyle{ x\ge 2 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n = \pi_2(p_n) \lt C \frac{p_n}{(\log p_n)^{3/2}} \le C \frac{p_n}{(\log n)^{3/2}} }[/math] for [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \frac 1 {p_n} \lt \frac C {n(\log n)^{3/2}} }[/math] for [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math]이고,

[math]\displaystyle{ \sum_{n\ge 1}\left(\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_n + 2}\right) \lt C\left(\frac{16}{15} + 2\sum_{n\ge 2}\frac{1}{p_n}\right )\lt C\left(\frac{16}{15} + 2 \sum_{n\ge 2} \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}\right)\lt \infty }[/math]

으로 증명이 완료된다.

브룬 상수의 값

Brun 상수의 정확한 값은 알려진 바가 없다. 2002 년에 Pascal Sebah와 Patrick Demichel이 1016 정도까지의 소수의 역수의 합을 구하여 외삽법을 이용하여 추정한 Brun 상수의 값은 약 1.902160583104이다. Dominic Klyve은 확장된 리만 가설을 이용하여 [math]\displaystyle{ B_2 \lt 2.1754 }[/math]임을 증명하였다.


쌍둥이 소수 추측과의 관계

비록 Brun의 정리가 놀라운 결과이기는 하지만, 안타깝게도 쌍둥이 추측에는 거의 영향을 주지 못한다. 물론 쌍둥이 소수의 빈도가 갈수록 작아진다는 것을 보여주기는 하지만, 이것이 쌍둥이 소수 추측을 증명하거나 반증할 수 없다. 수해라 일학자!


참고문헌