진술
[math]\displaystyle{ R }[/math]이 환이고 [math]\displaystyle{ S }[/math]가 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 부분집합일 때,
- [math]\displaystyle{ a,b\in S }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a+b\in S }[/math]
- [math]\displaystyle{ a,b\in S }[/math]이면 [math]\displaystyle{ ab\in S }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0_R \in S }[/math]
- [math]\displaystyle{ a\in S }[/math]이면 [math]\displaystyle{ -a\in S }[/math]
이면 [math]\displaystyle{ S }[/math]는 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 부분환이다.
[math]\displaystyle{ S }[/math]가 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 공집합이 아닌 부분집합이고
- [math]\displaystyle{ a,b\in S }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a-b\in S }[/math]
- [math]\displaystyle{ a,b\in S }[/math]이면 [math]\displaystyle{ ab\in S }[/math]
이면 [math]\displaystyle{ S }[/math]는 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 부분환이다.