벡터곱

벡터곱(vector product), 크로스곱(cross product), 또는 벡터의 외적은 0, 1, 3, 7차원에서만 정의되는 벡터간의 이항연산이다. 벡터곱은 분배법칙이 성립하고 반대칭적이며, 결합법칙이 성립하지 않는다. 기하학적으로 외적의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이를 뜻하며, 이를 강조하기 위하여 유향면적곱(directed area product)이라고도 한다.

방향이 정해진 벡터 공간에서, 두 벡터 [math]\displaystyle{ \mathbf u, \; \mathbf v }[/math]의 벡터곱은 [math]\displaystyle{ \mathbf u \times \mathbf v = \|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\| \sin \theta \; \hat{\mathbf n} = \sqrt{\|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\| - \left\lt \mathbf u, \mathbf v\right\gt ^2} \; \hat{\mathbf n} }[/math]으로 정의된다. 이때, [math]\displaystyle{ \theta }[/math]는 두 벡터 사이의 각이고, [math]\displaystyle{ \hat{\mathbf n} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbf u, \; \mathbf v }[/math]에 수직인 단위벡터 중 오른손 법칙을 따르도록 결정된 것이다.

3차원에서의 벡터곱

3차원 유클리드 공간에서, 두 벡터 u, v의 벡터곱은 다음과 같다:

[math]\displaystyle{ \mathbf u \times \mathbf v = \left|\begin{matrix}\mathbf e_1 &\mathbf e_2 &\mathbf e_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3\end{matrix} \right| =\left({\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}, \; {\begin{vmatrix}u_{3}&u_{1}\\v_{3}&v_{1}\end{vmatrix}}, \; {\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}}\right). }[/math]

증명은 단순 계산이므로 생략. 이에 따르면, 3차원 유클리드 공간의 표준기저의 벡터곱은

[math]\displaystyle{ \mathbf e_1 \times \mathbf e_2 = -\mathbf e_2 \times \mathbf e_1 = \mathbf e_3, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf e_2 \times \mathbf e_3 = -\mathbf e_3 \times \mathbf e_2 = \mathbf e_1, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf e_3 \times \mathbf e_1 = -\mathbf e_1 \times \mathbf e_3 = \mathbf e_2 }[/math]

가 된다.

성질

기본적인 성질

• 반대칭적(anti-symmetric, skew-symmetric): [math]\displaystyle{ \mathbf u \times \mathbf v = -\mathbf v \times \mathbf u. }[/math]
• 교대성(alternating): [math]\displaystyle{ \mathbf u \times \mathbf u = 0. }[/math] 특별한 경우(e.g., [math]\displaystyle{ \mathbb F_2 }[/math])가 아닌 이상, 교대성과 반대칭성은 같은 의미이다.
• 분배법칙: [math]\displaystyle{ \mathbf u \times (\mathbf v+\mathbf w) =\mathbf u \times \mathbf v+\mathbf u \times \mathbf w. }[/math]
• 스칼라곱과의 호환성: [math]\displaystyle{ (r\mathbf u) \times \mathbf v =r(\mathbf u \times \mathbf v)=\mathbf u\times(r \mathbf v)=r\mathbf u \times \mathbf v. }[/math]
• 야코비 항등식: [math]\displaystyle{ \sum_{\text{cyc}}\mathbf u \times (\mathbf v \times \mathbf w) = \mathbf u \times (\mathbf v \times \mathbf w) +\mathbf v \times (\mathbf w \times \mathbf u) + \mathbf w \times (\mathbf u \times \mathbf v) = \mathbf 0. }[/math]
• 결합법칙이 성립하지 않는다.
• 소거법칙(cancellation law)이 성립하지 않는다. 즉 [math]\displaystyle{ \mathbf u \times (\mathbf v - \mathbf w) = 0, \; \mathbf u \ne \mathbf 0 }[/math]이라고 해도 [math]\displaystyle{ \mathbf v = \mathbf w }[/math]인 것이 아니다. 단지 [math]\displaystyle{ \mathbf u }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathbf{ v-w} }[/math]가 평행, 즉 [math]\displaystyle{ \exists t \in \mathbb R, \;\mathbf w = \mathbf v + t \mathbf u }[/math]를 말한다. 하지만 [math]\displaystyle{ \mathbf u \cdot (\mathbf v - \mathbf w) = 0 }[/math]라는 조건이 더 주어지면 [math]\displaystyle{ \mathbf v = \mathbf w }[/math]이다.

벡터곱의 크기: 평행사변형의 넓이

벡터곱의 크기 [math]\displaystyle{ \|\mathbf u \times \mathbf v \| = \|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\| \sin \theta }[/math]는 두 벡터의 시점을 일치시켰을 때 만들어지는 평행사변형(또는 선분)의 넓이를 의미한다. 비슷하게, 두 벡터가 만드는 삼각형의 넓이는 이의 절반인 [math]\displaystyle{ \frac 1 2 \|\mathbf u \times \mathbf v \| }[/math]가 된다. 이는 신발끈 정리와 같다. 단지 2차원 공간에서는 벡터곱이 정의되지 않으므로, [math]\displaystyle{ \mathbb R^2 }[/math]를 [math]\displaystyle{ \mathbb R^3 }[/math]으로 embedding하여 넓이를 구한다. 임의의 다각형에 대해서는, 그 모두를 삼각형으로 쪼개어 구한다.

스칼라 삼중적: 평행육면체의 넓이

세 벡터 스칼라 삼중적(scalar triple product)은 다음과 같이 정의된다: [math]\displaystyle{ [\mathbf {uvw}] := \mathbf u \cdot \mathbf v \times \mathbf w = \mathbf u \cdot (\mathbf v \times \mathbf w) = \left|\begin{matrix}u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3\end{matrix} \right| = | \mathbf u \; \mathbf v \; \mathbf w |=*({\mathbf {a}}\wedge {\mathbf {b}}\wedge {\mathbf {c}}). }[/math] 이때, 첫 번째 식을 그라스만 기호(Graßmann symbol)라고 한다. 두 번째 식이 잘 정의되는 이유는, 연산 순서가 명확하기 때문이다. (앞의 스칼라곱을 먼저 계산하면 나머지 벡터곱을 계산할 수 없다.) 다섯 번째 식은 세 열벡터로 이루어진 행렬의 행렬식이며, 마지막 식은 세 벡터의 쐐기곱의 호지 별(Hodge star)이다. 네·다섯 번째 식에서 알 수 있듯이, 이는 세 벡터가 이루는 평행육면체의 부피를 말한다.

벡터곱과 일차변환

3차 정방행렬 [math]\displaystyle{ M }[/math]에 대하여, 다음이 성립한다:

[math]\displaystyle{ (M\mathbf a)\times(M\mathbf b) = \operatorname{cof}\;M (\mathbf a \times \mathbf b) = |M| (M^{-1})^{\mathsf T} (\mathbf a \times \mathbf b). }[/math]

이때 cof는 여인자 행렬을 말한다. 특히, [math]\displaystyle{ M=R_\theta \in \mathbf {SO} (\mathbb R^3) }[/math]이면, determinant가 1이고 inverse의 transpose가 그 자신이므로

[math]\displaystyle{ (R_\theta\mathbf a)\times (R_\theta\mathbf b) = R_\theta(\mathbf a \times \mathbf b) }[/math]

이 성립한다.

벡터곱과 영공간

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \mathbf a ^ \mathsf T \\ \mathbf b ^ \mathsf T \end{pmatrix} (\mathbf a \times \mathbf b) = \begin{pmatrix} \mathbf a \cdot (\mathbf a \times \mathbf b) \\ \mathbf b \cdot (\mathbf a \times \mathbf b) \end{pmatrix} = \mathbf 0 }[/math]이므로,

[math]\displaystyle{ \mathbf a \times \mathbf b \in \operatorname{ker} \begin{pmatrix} \mathbf a ^ \mathsf T \\ \mathbf b ^ \mathsf T \end{pmatrix} }[/math]

이다.

7차원에서의 벡터곱

우리는 3차원에서의 벡터곱이 사원수의 허수부의 곱셈과 관계가 깊다는 것을 알 수 있다. 편의상 사원수의 밑수(Basis)가 되는 환을 실수환 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]로 놓고 사원수 a, b를 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ a=a_0 + a_1 \mathbb{i} + a_2 \mathbb{j}+a_3\mathbb{k}, b=b_0+b_1\mathbb{i}+b_2\mathbb{j}+b_3\mathbb{k} }[/math]

여기서 사원수의 특정한 공식 [math]\displaystyle{ \mathbb{i}^2=\mathbb{j}^2 = \mathbb{k}^2 =-1, \mathbb{i}\mathbb{j}=-\mathbb{j}\mathbb{i}=\mathbb{k}, \mathbb{j}\mathbb{k}=-\mathbb{k}\mathbb{j}=\mathbb{i}, \mathbb{k}\mathbb{i}=-\mathbb{i}\mathbb{k}=\mathbb{j} }[/math]를 이용할 경우

[math]\displaystyle{ ab =(a_0+a_1 \mathbb{i} + a_2 \mathbb{j} + a_3 \mathbb{k})(b_0+b_1 \mathbb{i}+b_2 \mathbb{j}+b_3\mathbb{k}) =a_0 b_0-(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)+(a_0 b_1 + a_1 b_0 + a_2 b_3-a_3b_2)\mathbb{i} }[/math]
[math]\displaystyle{ +(a_0 b_2 +a_2 b_0+a_3 b_1 -a_1 b_3 )\mathbb{j}+ (a_0 b_3 + a_3 b_0 +a_1 b_2 -a_2 b_1)\mathbb{k} ) }[/math]. 여기서 [math]\displaystyle{ a=a_0 + \mathbb{a} , b = b_0 + \mathbb{b} }[/math]로 허수부를 [math]\displaystyle{ \mathbb{i}, \mathbb{j}, \mathbb{k} }[/math]를 기저로 가지는 3차원 벡터 공간으로 간주해서 계산할 경우 [math]\displaystyle{ ab=(a_0 b_0-\mathbb{a}\cdot \mathbb{b})+ (a_0 \mathbb{b}+b_0 \mathbb{a}+a \times b) }[/math]로 표현된다.

마찬가지로 7차원의 벡터곱은 팔원수를 이용해서 유도할 수 있다. 일단 팔원수는 사원수에서 허수부를 4개 더 확장한 것으로 실수에서 복소수를 허수부 i를 이용해서 확장하는 연산 방식인 케일리 딕슨 구성(Caylay-Dickson Construction)을 이용해서 얻을 수 있다. 구체적으로 얻는 방식은 아래를 참조하자.

팔원수의 연산 방법 

팔원수의 허수부의 곱셈표를를 이용하면 아래와 같다. 얼핏 보면 규칙이 복잡해보이지만, e_i들이 아래와 같은 조건을 만족한다는 것을 확인할 수 있다.

팔원수 곱셈표
ab =

a╲b	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e1	−1	+e4	+e7	−e2	+e6	−e5	−e3
e2	−e4	−1	+e5	+e1	−e3	+e7	−e6
e3	−e7	−e5	−1	+e6	+e2	−e4	+e1
e4	+e2	−e1	−e6	−1	+e7	+e3	−e5
e5	−e6	+e3	−e2	−e7	−1	+e1	+e4
e6	+e5	−e7	+e4	−e3	−e1	−1	+e2
e7	+e3	+e6	−e1	+e5	−e4	−e2	−1

• (사원수 부분 대수() 만약 [math]\displaystyle{ e_ie_j=e_k }[/math]라면, [math]\displaystyle{ \{\pm1,\pm e_i,\pm e_j,\pm e_k\} }[/math]는 사원수군을 이룬다. 즉, [math]\displaystyle{ e_je_k=e_i }[/math]이며 [math]\displaystyle{ e_ke_i=e_j }[/math]이다.
• (첨자의 순환성) 만약 [math]\displaystyle{ e_ie_j=\pm e_k }[/math]라면, [math]\displaystyle{ e_{i+1}e_{j+1}=\pm e_{k+1} }[/math]
• (첨자 2배 항등식) 만약 [math]\displaystyle{ e_ie_j=\pm e_k }[/math]라면, [math]\displaystyle{ e_{2i}e_{2j}=\pm e_{2k} }[/math]

이제 차근차근 공식을 살펴보면 [math]\displaystyle{ e_1 e_2 =e_j }[/math]라고 놓을 때 [math]\displaystyle{ \{\pm 1, \pm e_1 , \pm e_2 ,\pm e_j \} }[/math]가 사원수 조건을 만족하면서 [math]\displaystyle{ e_2 e_4 =e_{2j} }[/math]를 만족해야 할 것이고, j=4인 경우 뿐이라는 것을 알 수 있다. 이제 첨자를 유한군 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_7 }[/math]의 원소처럼 생각하고, 순환성 성질을 이용하면 {i,j,k}가 {1,2,4}, {2,3,5}, {3,4,6}, {4,5,7}, {5,6,1}, {6,7,2}, {7,1,3}일 때 [math]\displaystyle{ \{\pm 1, \pm e_1 , \pm e_2 ,\pm e_j \} }[/math]가 사원수 조건을 만족한다고 유도할 수 있으며, 결과적으로 위와 같은 곱셈공식이 유도된다.

여하튼 위와 같이 곱셈이 정의될 때 팔원수 [math]\displaystyle{ a=a_0 + \mathbb{a} , b=b_0 + \mathbb{b} }[/math], 여기서 [math]\displaystyle{ \mathbb{a}=\sum_{i=1}^{7} a_i e_i, \mathbb{b}=\sum_{i=1}^{7} b_i e_i }[/math]를 각각 7차원 벡터로 표현가능한 a와 b의 허수부로 묘사하면 [math]\displaystyle{ ab=(a_0 b_0 - \mathbb{a} \cdot \mathbb{b} ) + (a_0 \mathbb{b} + b_0 \mathbb{a} + \mathbb{a} \times \mathbb{b}) }[/math]를 만족하게 하는 벡터연산 [math]\displaystyle{ \mathbb{a} \times \mathbb{b} }[/math]를 7차원 벡터의 벡터곱으로 정의한다.

일례로 [math]\displaystyle{ \mathbb{a} \times \mathbb{b} }[/math]의 e₁ 부분만 계산해도 앞의 게수가 [math]\displaystyle{ a_2 b_4 + a_3 b_7 - a_4 b_2 + a_5 b_6 -a_6 b_5 -a_7 b_3 }[/math]라는 6개의 항으로 이루어진 다소 복잡한 식이 나오며, 나머지 계수도 위의 팔원수 곱공식을 이용해서 유도할 수 있다.

7차원 벡터의 벡터곱의 경우 아래와 같은 성질들을 3차원 벡터의 벡터곱과 성질을 공유한다.

• 다음과 같은 의미에서 겹선형(bilinear)이다.

x×(a y + b z) = a x × y + b x × z and (a y + b z) × x = a y × x + b z × x

• 반가환성 (anti-commutative)

x×y + y×x = 0

• x와 y 모두에 수직

x·(x×y) = y·(x×y) = 0

• 야코비 항등식이 성립한다.

x×(y×z) + y×(z×x) + z×(x×y) = 0

• ||x×y||² = ||x||²||y||²-(x·y)²

다만 다음과 같은 공식들은 7차원 벡터곱에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

• 스칼라 삼중곱 : [math]\displaystyle{ \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})= \det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) }[/math]

• 벡터 삼중곱 또는 라그랑주 공식: a×(b×c) = b(a∙c)-c(a∙b)

왜 0, 1, 3, 7차원에서만?

0, 1, 3, 7. 무슨 공통점이 있을까? 한번 속는 셈 치고 1을 더해보면, 1, 2, 4, 8이 된다. 어디서 본 익숙한 수들. 앞에서부터 차례대로, 실수, 복소수, 사원수, 팔원수의 실수에 대한 index이다. 잘 알고 있듯이, n-원수의 표준기저를 [math]\displaystyle{ 1=e_0, e_1, \cdots, e_{n-1} }[/math]로 쓰면, [math]\displaystyle{ \mathbf e_i \times \mathbf e_j = e_{i-1}e_{j-1} }[/math]가 된다. 그런데 이게 과연 저 대수들과 무슨 관계가 있을까?

참고문헌

• Why is cross product only defined in 3 and 7 dimensions? - math.SE