벡터공간

선형대수학의 주인공.

개요

고등학교 때 배웠던 벡터의 정의 - 크기와 방향을 가진 개체 - 를 확장한 것이라 생각해도 좋다.

어떤 마술의 금서목록의 등장인물인 엑셀러레이터의 초능력이 이 벡터공간의 원소인 벡터를 마음대로 다루는 것이다.

정의

K가 체(field)일 때, 집합 V 위에 두 연산 덧셈 +와 K상수곱(K스칼라곱)이 정의되어 있어서 다음 10가지 공리를 만족하면,
(V, +, K상수곱)의 triple을 K벡터공간(K‐vector space) 혹은 혼동의 여지가 없으면 그냥 벡터공간이라고 한다.

정의를 완전히 풀어 쓰면 다음과 같다.

1. V는 덧셈에 대해 닫혀 있을 것. 즉, 모든 v, w∈V에 대해 v+w∈V.
2. V는 K상수곱에 대해 닫혀 있을 것. 모든 v∈V와 a∈K에 대해 av∈V.
3. (덧셈의 결합법칙) 모든 u, v, w∈V에 대해 (u+v)+w=u+(v+w).
4. (덧셈의 항등원) 적당한 0∈V가 있어서 모든 v∈V에 대해 v+0=0+v=v.
   • 항등원은 존재하면 유일하므로, 이 원소를 그냥 0으로 적고, 영벡터(zero vector)라 부른다. 혼동의 여지가 있을 때는 0_V로 적기도 한다.
5. (덧셈의 역원) 모든 v∈V에 대해 적당한 w∈V가 있어서 v+w=w+v=0.
   • 역원은 존재하면 유일하므로 이 원소를 그냥 −v로 적는다.
6. (덧셈의 교환법칙) 모든 v, w∈V에 대해 v+w=w+v.
7. (벡터의 덧셈에 대한 상수곱의 분배법칙) 모든 a∈K와 v, w∈V에 대해 a(v+w)=av+aw.
8. (스칼라의 덧셈에 대한 상수곱의 분배법칙) 모든 a, b∈K와 v∈V에 대해 (a+b)v=av+bv.
   • 7, 8을 합쳐 (a+b)(u+v)=au+bu+av+bv라 하기도 한다.
9. (스칼라의 곱셈과 상수곱의 compatibility) 모든 a, b∈K와 v∈V에 대해 (ab)v=a(bv).
10. (항등원의 곱셈) K의 곱셈의 항등원 1과 모든 v∈V에 대해 1v=v.

직관적으로 말해, 원소들 간의 덧셈·뺄셈과 원소의 확대·축소(상수배)가 가능한 집합을 말한다.

대수학을 좀 더 배우면 위의 열 줄이 ‘벡터공간은 체(field) 위의 가군(module)’이라는 말 한 마디로 끝난다. 벡터공간은 free K가군이다.

벡터공간의 원소는 벡터(vector)라고 한다.

예시

가장 직관적인 예시는 순서쌍의 집합일 것이다. 즉,

• 체 K의 n‐tuple의 집합 Kⁿ은 K벡터공간. n이 1이면 체 K 자체가 된다.

그 밖에 다음과 같은 것도 벡터공간이다.

• 체 K 위의 m×n 행렬의 집합 M_m,n(K)는 K벡터공간.
• 체 K 위의 일변수 n차 다항식의 집합 P_n(K)[t]는 K벡터공간.
• 체 K 위의 일변수 다항식의 집합 K[t]는 K벡터공간.
• 실수에서 실수로 가는 모든 함수(혹은 모든 연속함수, 모든 미분가능함수, 모든 일급함수, …)의 집합은 [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]벡터공간.
• 복소수체 [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]벡터공간이기도 하고, [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]벡터공간이기도 하다.

선형대수학을 공부하다 보면 다음 예들도 만나게 되나, 지금 수준에선 전혀 이해할 수 없는 것들이다. 가끔 이 예시들을 벡터공간의 정의 바로 다음에 연습문제로 넣는 책이 있는데, 그런 책은 아주 나쁜 책이다.

• V와 W가 K벡터공간일 때, V에서 W로 가는 선형사상(linear transformation)들의 집합 L(V,W)은 K벡터공간.
• V가 K벡터공간일 때, V에서 K로 가는 K선형형식들의 집합 V^∗은 K벡터공간. 이를 쌍대공간(dual space)이라 한다. 사실 앞의 선형사상공간의 한 예에 불과하다고 볼 수도 있으나, 매우 중요하다.
• V가 K벡터공간이고 W가 V의 부분공간(subspace)일 때, 잉여공간(coset space) V/W는 K벡터공간. 이를 몫공간(quotient space)이라 한다.

성질

• 0∈K와 모든 v∈V에 대해 0v=0이다.
• a, b∈K이고 v, w∈V일 때, av+bw∈V이다.

따라서 수학적 귀납법에 의해, a₁, …, a_n∈K이고 v₁, …, v_n∈V에 대해 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n a_i \mathbf v_i \in V }[/math]임을 알 수 있다. 이런 꼴을 v₁, …, v_n의 일차결합(linear combination)이라고 한다.

부분공간

K벡터공간 V의 부분집합 W가 V로부터 물려받은 연산에 관하여 다시 K벡터공간이 되면, W를 V의 부분공간(subspace)이라 하고, [math]\displaystyle{ W \leq V }[/math]라 적는다. 혼동의 여지가 있으면 K부분공간(K‐subspace)이라 하기도 하고, [math]\displaystyle{ W \leq_K V }[/math]로 적기도 한다.

부분공간의 예는 다음과 같다.

• K벡터공간 Kⁿ의 (연립)일차방정식의 해공간(solution space).
• [math]\displaystyle{ \mathbf P_n (K) [t] \leq K[t] }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mathbb R \leq_\mathbb R \mathbb C }[/math]
• 부분공간의 부분공간은 부분공간이다. 즉, W≤V이고 U≤W이면 U≤V(정의에 의해 자명하다).
• 부분공간의 교집합은 부분공간이다. 즉, U, W≤V이면 U∩W≤V(이것도 정의에 의해 자명하다).

위 부분공간의 정의는 W가 덧셈과 상수곱에 대해 닫혀 있는 것과 동치이다. 아예 처음부터 이 동치조건을 이용해 부분공간을 정의하기도 한다.

S가 V의 부분집합일 때, S를 포함하는 V의 가장 작은(최소의, smallest) 부분공간을 S가 생성하는 부분공간(subspace generated by S)이라 하고, [math]\displaystyle{ \langle S \rangle }[/math]로 적는다. 최소(Smallest)가 아니고 극소(minimal)로 정의하기도 하는데, 최소로 정의하면 존재성이, 극소로 정의하면 유일성이 문제 되나……

이러한 부분공간 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle }[/math]의 존재성과 유일성은 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle = \bigcap_{S \subseteq W \leq V} W }[/math]를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분공간의 교집합이 다시 부분공간인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다.

실제로 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle }[/math]를 계산하려면 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle = \{ }[/math]S의 모든 원소의 일차결합[math]\displaystyle{ \} }[/math]임을 증명하여야 한다. 이는 S⊆W≤V일 때마다 W에는 S의 모든 원소의 일차결합이 다 포함되어야 함을 증명하면 충분한데, 앞서의 부분공간 정의의 동치 정리를 생각하면 거의 자명하다.

아예 처음부터 위 정리를 이용하여 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle }[/math]는 S의 모든 원소의 일차결합을 모아 놓은 집합이라고 정의하는 책도 있다. 이렇게 정의한 뒤 그 결과가 부분공간이 됨을 보이는 것은 매우 매우 쉽기 때문이다.

기저와 차원

만약 [math]\displaystyle{ V }[/math]를 생성하는 집합이 일차독립(linear independent)이면, 이 집합을 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 기저(basis) [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math]라고 한다. 벡터 공간의 기저가 유일하지는 않지만, (만약 존재한다면) 기저의 원소의 수는 항상 같다. 이를 벡터 공간의 차원(dimension) [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}V=|\mathfrak B| (\in \operatorname{Card}) }[/math]이라고 한다. 선택 공리를 가정하지 않으면 모든 벡터 공간에 대하여 차원을 정의할 수 없기 때문에 잘 정의되지 않는다. 즉, 차원이 잘 정의되려면 선택 공리를 가정해야 한다.

선택 공리를 가정하면 차원이 주어졌을 때, 모든 벡터 공간을 분류할 수 있다. Linear extension theorem에 의하면 차원이 같은 두 벡터 공간에 대하여 둘 사이의 isomorphism이 존재한다. 즉, 모든 [math]\displaystyle{ K }[/math]-벡터 공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]은 [math]\displaystyle{ \oplus_{i=1}^{\operatorname{dim}V} K }[/math]와 같다. 즉 체 [math]\displaystyle{ K }[/math]를 그 차원만큼 직합(direct sum)하면 그 벡터 공간과 isomorphic한 벡터 공간이 나온다. 이제 차원으로써 벡터 공간을 분류할 수 있음을 안다.

선형 사상

체 [math]\displaystyle{ K }[/math]와 [math]\displaystyle{ K }[/math]-벡터 공간 [math]\displaystyle{ V, W }[/math]에 대하여, 합과 스칼라곱을 보존하는 사상 [math]\displaystyle{ L:V\to W }[/math]을 선형 사상(선형 변환, linear map)이라 한다. 선형 사상들의 집합 [math]\displaystyle{ \mathfrak{L}(V, W) }[/math]은 벡터 공간을 이룬다.만약 [math]\displaystyle{ V, W }[/math]가 유한 차원 벡터 공간이며 기저가 주어져 있으면 선형 변환을 행렬로써 나타낼 수 있다. 선형대수학의 기본 정리에 의하여 선형 변환은 행렬과 같은 것으로 취급할 수 있기 때문이다.