베주 항등식(Bézout's identity)은 두 정수와 그 최대공약수의 연관성을 나타내는 등식이다.
진술
적어도 하나가 영이 아닌 $a,b\in\mathbb{Z}$에 대해 $\gcd(a,b)=d$이면 $d=au+bv$를 만족하는 $u,v\in \mathbb{Z}$가 존재한다. 또한 $d$는 $au+bv$ 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 양의 정수이다.
증명
집합 $S$를 다음과 같이 정의하자.
- $S=\{ax+by: x,y\in \mathbb{Z},ax+by\ge 0\}$
그러면 $S\subseteq \mathbb{N}$이고 $a\ne 0$ 또는 $b\ne 0$이므로 $a^2+b^2>0$이다. 따라서 $a^2+b^2\in S$이므로, $S$는 공집합이 아니다. 따라서 정렬순서공리에 의해 $S$의 양의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 $t$라 하자. 그러면 $t=au+bv$를 만족하는 $u,v\in \mathbb{Z}$가 존재한다. 한편 나눗셈 정리에 의해
- $a=tq+r$
인 $q,r\in \mathbb{Z}$이 존재하고 이때 $0\le r <t$이다. 따라서
- $r=a-tq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(vq)$
이다. 따라서 $r\in S$인데, $S$의 최소원소가 $t$이므로 $r<t$이다. 그런데 $r$이 양수라면 $t$가 $S$의 양의 최소원소라는 것에 모순이므로 $r=0$이어야 한다. 따라서 $a\mid t$이다. 마찬가지 방법으로 $b\mid t$임을 보일 수 있다. $c\in \mathbb{Z}$가 $c\mid a$이고 $c \mid b$라고 하자. 그러면 $a=ck$이고 $b=cl$인 $k,l\in\mathbb{Z}$가 존재한다. 따라서
- $t=au+bv=(ck)u+(cl)v=c(ku+lv)$
이므로 $c\mid t$이다. $t>0$이므로, $c\le t$이다. 따라서 $t$는 $a$와 $b$의 최대공약수이므로 $t=d$이다.
명제의 역
$d=1$이라면 $\gcd(a,b)=1$과 $1=au+bv$를 만족하는 $u,v\in\mathbb{Z}$가 존재한다는 것은 동치이다. 정수 $a,b$에 대해 $1=au+bv$를 만족하는 $u,v\in \mathbb{Z}$가 존재한다고 가정하자. 그러면 $1\in S$이다. $\gcd(a,b)=d$라고 하면 $d$는 $S$의 양의 최소원소이므로 $d\le 1$이어야 한다. 최대공약수의 정의에 의해 $d\ge 1$이므로, $d=1$이다.
$d\ge 2$라면 정리의 역은 성립하지 않는다.
일반화
셋 이상의 정수
$a_1,a_2,\cdots,a_n$이 적어도 하나는 영이 아닌 정수이고 $\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=d$라고 하자. 그러면 $d=a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_nu_n$인 $u_1,u_2,\cdots,u_n\in \mathbb{Z}$이 존재한다.
다항식환
체 $F$와 $a(x),b(x)\in F[x]$에 대해 $a(x)$와 $b(x)$ 중 하나는 영이 아니라고 하자. 그러면 $a(x)$와 $b(x)$의 최대공약수 $d(x)\in F[x]$가 존재하고 $d(x)=a(x)u(x)+b(x)v(x)$인 $u(x),v(x)\in F[x]$가 존재한다.
추상화
주 아이디얼 정역에서는 베주 항등식이 항상 성립한다. 베주 항등식이 성립하는 정역을 베주 정역이라 한다.
참고문헌
- 김응태 · 박승안(2012), 『정수론』 (제8판), 경문사. ISBN 9788961055956
- Hungerford, T. (2014). Abstract algebra: An introduction (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 1111573336