베주 항등식

베주 항등식(Bézout's identity)은 두 정수와 그 최대공약수의 연관성을 나타내는 등식이다.

진술

적어도 하나가 0이 아닌 [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Z} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \gcd(a,b)=d }[/math]이면 [math]\displaystyle{ d=au+bv }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ u,v\in \mathbb{Z} }[/math]가 존재한다. 또한 d는 [math]\displaystyle{ au+bv }[/math] 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 양의 정수이다.

증명

집합 S를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ S=\{ax+by: x,y\in \mathbb{Z},ax+by\ge 0\} }[/math]

그러면 [math]\displaystyle{ S\subseteq \mathbb{N} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ a\ne 0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ b\ne 0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ a^2+b^2\gt 0 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ a^2+b^2\in S }[/math]이므로, S는 공집합이 아니다. 따라서 정렬순서공리에 의해 S의 양의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 t라 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ t=au+bv }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ u,v\in \mathbb{Z} }[/math]가 존재한다. 한편 나눗셈 정리에 의해

[math]\displaystyle{ a=tq+r }[/math]

인 [math]\displaystyle{ q,r\in \mathbb{Z} }[/math]이 존재하고 이때 [math]\displaystyle{ 0\le r \lt t }[/math]이다. 따라서

[math]\displaystyle{ r=a-tq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(vq) }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ r\in S }[/math]인데, S의 최소원소가 t이므로 [math]\displaystyle{ r\lt t }[/math]이다. 그런데 r이 양수라면 t가 S의 양의 최소원소라는 것에 모순이므로 [math]\displaystyle{ r=0 }[/math]이어야 한다. 따라서 [math]\displaystyle{ a\mid t }[/math]이다. 마찬가지 방법으로 [math]\displaystyle{ b\mid t }[/math]임을 보일 수 있다. [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{Z} }[/math]가 [math]\displaystyle{ c\mid a }[/math]이고 [math]\displaystyle{ c \mid b }[/math]라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ a=ck }[/math]이고 [math]\displaystyle{ b=cl }[/math]인 [math]\displaystyle{ k,l\in\mathbb{Z} }[/math]가 존재한다. 따라서

[math]\displaystyle{ t=au+bv=(ck)u+(cl)v=c(ku+lv) }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ c\mid t }[/math]이다. [math]\displaystyle{ t\gt 0 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ c\le t }[/math]이다. 따라서 t는 a와 b의 최대공약수이므로 [math]\displaystyle{ t=d }[/math]이다.

명제의 역

[math]\displaystyle{ d=1 }[/math]이라면 [math]\displaystyle{ \gcd(a,b)=1 }[/math]과 [math]\displaystyle{ 1=au+bv }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ u,v\in\mathbb{Z} }[/math]가 존재한다는 것은 동치이다. 정수 a,b에 대해 [math]\displaystyle{ 1=au+bv }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ u,v\in \mathbb{Z} }[/math]가 존재한다고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ 1\in S }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \gcd(a,b)=d }[/math]라고 하면 d는 S의 양의 최소원소이므로 [math]\displaystyle{ d\le 1 }[/math]이어야 한다. 최대공약수의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ d\ge 1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ d=1 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ d\ge 2 }[/math]라면 정리의 역은 성립하지 않는다.

일반화

셋 이상의 정수

[math]\displaystyle{ a_1,a_2,\cdots,a_n }[/math]이 적어도 하나는 영이 아닌 정수이고 [math]\displaystyle{ \gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=d }[/math]라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ d=a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_nu_n }[/math]인 [math]\displaystyle{ u_1,u_2,\cdots,u_n\in \mathbb{Z} }[/math]이 존재한다.

다항식환

체 F와 [math]\displaystyle{ a(x),b(x)\in F[x] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a(x) }[/math]와 [math]\displaystyle{ b(x) }[/math] 중 하나는 영이 아니라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ a(x) }[/math]와 [math]\displaystyle{ b(x) }[/math]의 최대공약수 [math]\displaystyle{ d(x)\in F[x] }[/math]가 존재하고 [math]\displaystyle{ d(x)=a(x)u(x)+b(x)v(x) }[/math]인 [math]\displaystyle{ u(x),v(x)\in F[x] }[/math]가 존재한다.

추상화

주 아이디얼 정역에서는 베주 항등식이 항상 성립한다. 베주 항등식이 성립하는 정역을 베주 정역이라 한다.

참고문헌

• 김응태 · 박승안(2012), 『정수론』 (제8판), 경문사. ISBN 9788961055956
• Hungerford, T. (2014). Abstract algebra: An introduction (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 1111573336