베주 항등식: 두 판 사이의 차이

2015년 7월 28일 (화) 16:57 판

베주 항등식(Bézout's identity)은 두 정수와 그 최대공약수의 연관성을 나타내는 등식이다.

진술

적어도 하나가 영이 아닌 [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Z} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \gcd(a,b)=d }[/math]이면 [math]\displaystyle{ d=au+bv }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ u,v\in \mathbb{Z} }[/math]가 존재한다. 또한 d는 [math]\displaystyle{ au+bv }[/math] 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 양의 정수이다.

증명

집합 S를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ S=\{ax+by: x,y\in \mathbb{Z},ax+by\ge 0\} }[/math]

그러면 [math]\displaystyle{ S\subseteq \mathbb{N} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ a\ne 0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ b\ne 0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ a^2+b^2\gt 0 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ a^2+b^2\in S }[/math]이므로, S는 공집합이 아니다. 따라서 정렬순서공리에 의해 S의 양의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 t라 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ t=au+bv }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ u,v\in \mathbb{Z} }[/math]가 존재한다. 한편 나눗셈 정리에 의해

[math]\displaystyle{ a=tq+r }[/math]

인 [math]\displaystyle{ q,r\in \mathbb{Z} }[/math]이 존재하고 이때 [math]\displaystyle{ 0\le r \lt t }[/math]이다. 따라서

[math]\displaystyle{ r=a-tq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(vq) }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ r\in S }[/math]인데, S의 최소원소가 t이므로 [math]\displaystyle{ r\lt t }[/math]이다. 그런데 r이 양수라면 t가 S의 양의 최소원소라는 것에 모순이므로 [math]\displaystyle{ r=0 }[/math]이어야 한다. 따라서 [math]\displaystyle{ a\mid t }[/math]이다. 마찬가지 방법으로 [math]\displaystyle{ b\mid t }[/math]임을 보일 수 있다. [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{Z} }[/math]가 [math]\displaystyle{ c\mid a }[/math]이고 [math]\displaystyle{ c \mid b }[/math]라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ a=ck }[/math]이고 [math]\displaystyle{ b=cl }[/math]인 [math]\displaystyle{ k,l\in\mathbb{Z} }[/math]가 존재한다. 따라서

[math]\displaystyle{ t=au+bv=(ck)u+(cl)v=c(ku+lv) }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ c\mid t }[/math]이다. [math]\displaystyle{ t\gt 0 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ c\le t }[/math]이다. 따라서 t는 a와 b의 최대공약수이므로 [math]\displaystyle{ t=d }[/math]이다.

명제의 역

[math]\displaystyle{ d=1 }[/math]이라면 [math]\displaystyle{ \gcd(a,b)=1 }[/math]과 [math]\displaystyle{ 1=au+bv }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ u,v\in\mathbb{Z} }[/math]가 존재한다는 것은 동치이다. 정수 a,b에 대해 [math]\displaystyle{ 1=au+bv }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ u,v\in \mathbb{Z} }[/math]가 존재한다고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ 1\in S }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \gcd(a,b)=d }[/math]라고 하면 d는 S의 양의 최소원소이므로 [math]\displaystyle{ d\le 1 }[/math]이어야 한다. 최대공약수의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ d\ge 1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ d=1 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ d\ge 2 }[/math]라면 정리의 역은 성립하지 않는다.

일반화

셋 이상의 정수

[math]\displaystyle{ a_1,a_2,\cdots,a_n }[/math]이 적어도 하나는 영이 아닌 정수이고 [math]\displaystyle{ \gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=d }[/math]라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ d=a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_nu_n }[/math]인 [math]\displaystyle{ u_1,u_2,\cdots,u_n\in \mathbb{Z} }[/math]이 존재한다.

다항식환

체 F와 [math]\displaystyle{ a(x),b(x)\in F[x] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a(x) }[/math]와 [math]\displaystyle{ b(x) }[/math] 중 하나는 영이 아니라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ a(x) }[/math]와 [math]\displaystyle{ b(x) }[/math]의 최대공약수 [math]\displaystyle{ d(x)\in F[x] }[/math]가 존재하고 [math]\displaystyle{ d(x)=a(x)u(x)+b(x)v(x) }[/math]인 [math]\displaystyle{ u(x),v(x)\in F[x] }[/math]가 존재한다.

추상화

주 아이디얼 정역에서는 베주 항등식이 항상 성립한다. 베주 항등식이 성립하는 정역을 베주 정역이라 한다.

참고문헌

김응태 · 박승안(2012), 『정수론』 (제8판), 경문사. ISBN 9788961055956
Hungerford, T. (2014). Abstract algebra: An introduction (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 1111573336

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 === 증명 ===
-집합 ''S''를 다음과 같이 정의하자.
+[[집합 (수학)|집합]] ''S''를 다음과 같이 정의하자.
 : <math>S=\{ax+by: x,y\in \mathbb{Z},ax+by\ge 0\}</math>
-그러면 <math>S\subseteq \mathbb{N}</math>이고 <math>a\ne 0</math> 또는 <math>b\ne 0</math>이므로 <math>a^2+b^2>0</math>이다. 따라서 <math>a^2+b^2\in S</math>이므로, ''S''는 공집합이 아니다. 따라서 [[정렬순서공리]]에 의해 ''S''의 양의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 ''t''라 하자. 그러면 <math>t=au+bv</math>를 만족하는 <math>u,v\in \mathbb{Z}</math>가 존재한다. 한편 [[나눗셈 정리]]에 의해
+그러면 <math>S\subseteq \mathbb{N}</math>이고 <math>a\ne 0</math> 또는 <math>b\ne 0</math>이므로 <math>a^2+b^2>0</math>이다. 따라서 <math>a^2+b^2\in S</math>이므로, ''S''는 [[공집합]]이 아니다. 따라서 [[정렬순서공리]]에 의해 ''S''의 양의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 ''t''라 하자. 그러면 <math>t=au+bv</math>를 만족하는 <math>u,v\in \mathbb{Z}</math>가 존재한다. 한편 [[나눗셈 정리]]에 의해
 : <math>a=tq+r</math>
-인 <math>q,r\in \mathbb{Z}</math>이 존재하고 이때 <math>0\le r <t</math>이다. 따라서
+인 <math>q,r\in \mathbb{Z}</math>이 존재하고 이때 <math>0\le r < t</math>이다. 따라서
 : <math>r=a-tq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(vq)</math>
-이다. 따라서 <math>r\in S</math>인데, ''S''의 최소원소가 ''t''이므로 <math>r<t</math>이다. 그런데 ''r''이 양수라면 ''t''가 ''S''의 양의 최소원소라는 것에 모순이므로 <math>r=0</math>이어야 한다. 따라서 <math>a\mid t</math>이다. 마찬가지 방법으로 <math>b\mid t</math>임을 보일 수 있다. <math>c\in \mathbb{Z}</math>가 <math>c\mid a</math>이고 <math>c \mid b</math>라고 하자. 그러면 <math>a=ck</math>이고 <math>b=cl</math>인 <math>k,l\in\mathbb{Z}</math>가 존재한다. 따라서
+이다. 따라서 <math>r\in S</math>인데, ''S''의 최소원소가 ''t''이므로 <math>r< t</math>이다. 그런데 ''r''이 양수라면 ''t''가 ''S''의 양의 최소원소라는 것에 모순이므로 <math>r=0</math>이어야 한다. 따라서 <math>a\mid t</math>이다. 마찬가지 방법으로 <math>b\mid t</math>임을 보일 수 있다. <math>c\in \mathbb{Z}</math>가 <math>c\mid a</math>이고 <math>c \mid b</math>라고 하자. 그러면 <math>a=ck</math>이고 <math>b=cl</math>인 <math>k,l\in\mathbb{Z}</math>가 존재한다. 따라서
 : <math>t=au+bv=(ck)u+(cl)v=c(ku+lv)</math>
 이므로 <math>c\mid t</math>이다. <math>t>0</math>이므로, <math>c\le t</math>이다. 따라서 ''t''는 ''a''와 ''b''의 최대공약수이므로 <math>t=d</math>이다.
 === 명제의 역 ===
-$d=1$이라면 $\gcd(a,b)=1$과 $1=au+bv$를 만족하는 $u,v\in\mathbb{Z}$가 존재한다는 것은 동치이다. 정수 $a,b$에 대해 $1=au+bv$를 만족하는 $u,v\in \mathbb{Z}$가 존재한다고 가정하자. 그러면 $1\in S$이다. $\gcd(a,b)=d$라고 하면 $d$는 $S$의 양의 최소원소이므로 $d\le 1$이어야 한다. 최대공약수의 정의에 의해 $d\ge 1$이므로, $d=1$이다.
+<math>d=1</math>이라면 <math>\gcd(a,b)=1</math>과 <math>1=au+bv</math>를 만족하는 <math>u,v\in\mathbb{Z}</math>가 존재한다는 것은 동치이다. 정수 ''a'',''b''에 대해 <math>1=au+bv</math>를 만족하는 <math>u,v\in \mathbb{Z}</math>가 존재한다고 가정하자. 그러면 <math>1\in S</math>이다. <math>\gcd(a,b)=d</math>라고 하면 ''d''는 ''S''의 양의 최소원소이므로 <math>d\le 1</math>이어야 한다. 최대공약수의 정의에 의해 <math>d\ge 1</math>이므로, <math>d=1</math>이다.
-$d\ge 2$라면 정리의 역은 성립하지 않는다.
+<math>d\ge 2</math>라면 정리의 역은 성립하지 않는다.
 == 일반화 ==
 === 셋 이상의 정수 ===
-$a_1,a_2,\cdots,a_n$이 적어도 하나는 영이 아닌 정수이고 $\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=d$라고 하자. 그러면 $d=a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_nu_n$인 $u_1,u_2,\cdots,u_n\in \mathbb{Z}$이 존재한다.
+<math>a_1,a_2,\cdots,a_n</math>이 적어도 하나는 영이 아닌 정수이고 <math>\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=d</math>라고 하자. 그러면 <math>d=a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_nu_n</math>인 <math>u_1,u_2,\cdots,u_n\in \mathbb{Z}</math>이 존재한다.
 === 다항식환 ===
-[[체]] $F$와 $a(x),b(x)\in F[x]$에 대해 $a(x)$와 $b(x)$ 중 하나는 영이 아니라고 하자. 그러면 $a(x)$와 $b(x)$의 최대공약수 $d(x)\in F[x]$가 존재하고 $d(x)=a(x)u(x)+b(x)v(x)$인 $u(x),v(x)\in F[x]$가 존재한다.
+[[체 (수학)|체]] ''F''와 <math>a(x),b(x)\in F[x]</math>에 대해 <math>a(x)</math>와 <math>b(x)</math> 중 하나는 영이 아니라고 하자. 그러면 <math>a(x)</math>와 <math>b(x)</math>의 최대공약수 <math>d(x)\in F[x]</math>가 존재하고 <math>d(x)=a(x)u(x)+b(x)v(x)</math>인 <math>u(x),v(x)\in F[x]</math>가 존재한다.
 === 추상화 ===