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간단히 말하자면 어떤 | 간단히 말하자면 어떤 ''x''를 찾는 것이다. | ||
== 정의<ref>[http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1099560&cid=40942&categoryId=32207 네이버 | == 정의<ref>[http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1099560&cid=40942&categoryId=32207 네이버 사전]</ref> == | ||
'''방정식'''이란 미지수의 값에 따라서 참이 되거나 거짓이 되는 등식이다. | '''방정식'''이란 미지수의 값에 따라서 참이 되거나 거짓이 되는 등식이다. | ||
예시를 들어보자. | 예시를 들어보자. | ||
x<sup>3</sup> | ''x''<sup>3</sup>−3''x''+2=0이라는 식은 ''x''=1 또는 −2일 때는 참이지만, 예를 들어 ''x''=0일 때는 거짓이다. 따라서 방정식이다. | ||
이때, 방정식이 참이 되게 하는 값을 방정식의 '''해''' 또는 '''근'''이라고 한다. | 이때, 방정식이 참이 되게 하는 값을 방정식의 '''해''' 또는 '''근'''이라고 한다. | ||
위의 방정식의 해는 1 또는 | 위의 방정식의 해는 1(중근) 또는 −2다. | ||
주의할 점은 '''항상 참이거나, 항상 거짓'''인 경우 역시 방정식이라는 것이다. | 주의할 점은 '''항상 참이거나, 항상 거짓'''인 경우 역시 방정식이라는 것이다. | ||
전자의 경우를 항등식이라고 하며, 후자의 경우를 불능이라 한다. | 전자의 경우를 항등식이라고 하며, 후자의 경우를 불능이라 한다. | ||
항등식의 예는 (x+1)<sup>2</sup>=x<sup>2</sup>+ | 항등식의 예는 (''x''+1)<sup>2</sup>=''x''<sup>2</sup>+2''x''+1, ''x''=''x'' 등이 있으며, | ||
불능의 경우는 x=x | 불능의 경우는 ''x''=''x''−1, 0''x''=1 등이 있다. | ||
== 왜 중요한가? == | == 왜 중요한가? == | ||
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== 방정식의 종류 == | == 방정식의 종류 == | ||
=== 다항방정식 === | === 다항방정식 === | ||
다항방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다. | 다항방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다. | ||
<math>\definecolor{ers}{RGB}{81,64, 242} \color{ers}{\sum_{i=0}^{n}{{a}_{i}}^{i}}</math>. | : <math>\definecolor{ers}{RGB}{81,64, 242} \color{ers}{\sum_{i=0}^{n}{{a}_{i}}^{i}}</math>. | ||
이때, a<sub>i</sub>가 0이 아닌 i 중에서 가장 큰 i의 값을 n이라고 하자. 그러면 이 다항방정식을 n차 방정식이라고 한다. | 이때, a<sub>i</sub>가 0이 아닌 i 중에서 가장 큰 i의 값을 n이라고 하자. 그러면 이 다항방정식을 n차 방정식이라고 한다. | ||
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(x-α)(x-β)...(x-η)=0 그러면 x=α 또는 β 또는 ... η이 된다. | (x-α)(x-β)...(x-η)=0 그러면 x=α 또는 β 또는 ... η이 된다. | ||
흥미로운 점은 4차 이하의 방정식은 일반적인 | 흥미로운 점은 4차 이하의 방정식은 일반적인 풀이법이 존재하지만, [[군 (수학)|5차 이상의 방정식은 그렇지 않다.]]<ref>왜 할까? 항목을 보자.</ref> 그러나, 이것이 해가 존재하지 않음을 의미하는 것은 아니다. 1차 이상의 모든 (복소계수) 다항방정식은 복소수 범위에서 항상 해가 존재한다. 이를 대수학의 기본정리라고 한다.<ref name="대수학의 기본정리">[http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99%EC%9D%98_%EA%B8%B0%EB%B3%B8_%EC%A0%95%EB%A6%AC 위키백과:대수학의 기본정리]</ref> | ||
그러나, 이것이 해가 존재하지 않음을 의미하는 것은 아니다. | |||
=== 분수방정식 === | === 분수방정식 === | ||
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=== 그 외의 여러 방정식들 === | === 그 외의 여러 방정식들 === | ||
* 부정방정식 : 해가 무수히 많은 방정식을 부정방정식이라고 한다. 대표적인 부정방정식은 x=2y가 있다. | * 부정방정식 : 해가 무수히 많은 방정식을 부정방정식이라고 한다. 대표적인 부정방정식은 x=2y가 있다. | ||
* 연립방정식 : 여러 방정식이 동시에 묶여 있는 경우다. 이때, 연립방정식의 해는 방정식들을 모두 참으로 만드는 것으로 정의된다. 예를 들어 {x+y=2 | |||
* 연립방정식 : 여러 방정식이 동시에 묶여 있는 경우다. 이때, 연립방정식의 해는 방정식들을 모두 참으로 만드는 것으로 정의된다. 예를 들어 다음과 같다. | |||
*: <math>\begin{cases} x+y=2\\ x=2 \end{cases}</math> | |||
: 이 방정식의 해는 ''x''=2, ''y''=0이 된다. 특히, 이 연립방정식의 각 방정식들이 모두 일차방정식일 때를 주로 연구하는 것이 [[선형대수학]]이다. | |||
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2015년 5월 15일 (금) 13:47 판
간단한 소개
간단히 말하자면 어떤 x를 찾는 것이다.
정의[1]
방정식이란 미지수의 값에 따라서 참이 되거나 거짓이 되는 등식이다.
예시를 들어보자. x3−3x+2=0이라는 식은 x=1 또는 −2일 때는 참이지만, 예를 들어 x=0일 때는 거짓이다. 따라서 방정식이다. 이때, 방정식이 참이 되게 하는 값을 방정식의 해 또는 근이라고 한다. 위의 방정식의 해는 1(중근) 또는 −2다.
주의할 점은 항상 참이거나, 항상 거짓인 경우 역시 방정식이라는 것이다. 전자의 경우를 항등식이라고 하며, 후자의 경우를 불능이라 한다. 항등식의 예는 (x+1)2=x2+2x+1, x=x 등이 있으며, 불능의 경우는 x=x−1, 0x=1 등이 있다.
왜 중요한가?
직관적인 설명을 추가바람
방정식의 종류
다항방정식
다항방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.
- [math]\displaystyle{ \definecolor{ers}{RGB}{81,64, 242} \color{ers}{\sum_{i=0}^{n}{{a}_{i}}^{i}} }[/math].
이때, ai가 0이 아닌 i 중에서 가장 큰 i의 값을 n이라고 하자. 그러면 이 다항방정식을 n차 방정식이라고 한다.
그러면, 다항방정식은 어떻게 푸는가? ab=0이라면, a=0 또는 b=0이라는 것에서 착안하여 다항식을 인수분해한다. 편의상 최고차항의 계수를 1이라고 하면, (x-α)(x-β)...(x-η)=0 그러면 x=α 또는 β 또는 ... η이 된다.
흥미로운 점은 4차 이하의 방정식은 일반적인 풀이법이 존재하지만, 5차 이상의 방정식은 그렇지 않다.[2] 그러나, 이것이 해가 존재하지 않음을 의미하는 것은 아니다. 1차 이상의 모든 (복소계수) 다항방정식은 복소수 범위에서 항상 해가 존재한다. 이를 대수학의 기본정리라고 한다.[3]
분수방정식
각 항을 모두 정리하여 f(x)=0꼴로 만들었을 때, 분모에 미지수가 포함되어 있는 분수식을 말한다. 예를 들면
- [math]\displaystyle{ \frac {1}{x}-\frac {1}{x-2}=0. }[/math]
그러면 분수방정식은 어떻게 푸는가? 각 항의 분모의 최소공배수를 양 변에 곱하여 다항방정식으로 고쳐서 푼다. 그러면 분수방정식은 다항방정식과 차이점이 무엇인지 의문이 들 수 있다.
결정적 차이점은 무연근[4]이 존재할 수 있다는 것이다. 무연근이란, 풀기 편한 형태로 바꾼 방정식(위에선, 최소공배수를 곱해 만든 다항방정식)에선 해가 되지만, 원래의 방정식에선 해가 되지 않는 값인데, 예시를 들어보자. 1/x=1/x(x+1)이라는 방정식을 풀기 위해 양 변에, x(x+1)을 곱하면, x(x+1)=x가 된다. 분배법칙을 써서 괄호를 풀고, x를 이항하면, x2=0가 되어, x=0이 해가 된다. 하지만 원래의 방정식 1/x=1/x(x+1)의 해는 되지 않는데, 분모를 0으로 만들기 때문이다.
무리방정식
각 항을 모두 정리하여, f(x)=0꼴로 만들었을 때, 무리식이 포함되는 경우다. 예를 들면 sqrt(x-2)+x=8.
그러면 무리방정식은 어떻게 푸는가? 적당히 거듭제곱을 취해서 거듭제곱근을 제거, 즉 다항방정식 형태로 만들어 푼다. 무리방정식의 경우도 분수방정식처럼 무연근[5]이 존재할 수 있다.
함수방정식
위의 경우들은 모두 x에 대한 어떤 실수나 복소수 값들을 구했다. 함수방정식은 어떤 값이 함수인 경우다. 예를 들어보자. f(x+y)=f(x)f(y)라는 방정식은 f(x)=ax일 때 참이 된다. 함수방정식에도 역시 종류가 여러 가지 있는데, 그 중 특히 중요한 것은 미분방정식이다. 미분방정식이 중요한 이유는 많은 물리학 법칙들이 미분의 형태로 나타나기 때문이다.[6]
그 외의 여러 방정식들
- 부정방정식 : 해가 무수히 많은 방정식을 부정방정식이라고 한다. 대표적인 부정방정식은 x=2y가 있다.
- 연립방정식 : 여러 방정식이 동시에 묶여 있는 경우다. 이때, 연립방정식의 해는 방정식들을 모두 참으로 만드는 것으로 정의된다. 예를 들어 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} x+y=2\\ x=2 \end{cases} }[/math]
- 이 방정식의 해는 x=2, y=0이 된다. 특히, 이 연립방정식의 각 방정식들이 모두 일차방정식일 때를 주로 연구하는 것이 선형대수학이다.
이 외에도 다른 방정식들을 추가바람
각주
- ↑ 네이버 사전
- ↑ 왜 할까? 항목을 보자.
- ↑ 위키백과:대수학의 기본정리
- ↑ 무연근이 존재하는 이유는 a=b라는 분수방정식을 풀기 위해 최소공배수 L을 곱한다고 해보자. 그러면, aL=bL이라는 형태의 다항방정식이 되는데, 이때 L=0인 경우, a=b가 아니더라도 이 다항방정식은 참이 된다. 이 경우 무연근이 생기는 것이다.
- ↑ 무리방정식에서 무연근이 존재하는 이유는 다음과 같다. x1/4=y이라는 무리방정식을 생각하자. 거듭제곱근을 제거하기 위해 네제곱을 했다고 하면, x=y4인데, 이 경우, x=1, y=i 역시 이 다항방정식의 해가 된다.(이때 i=sqrt(-1) 허수다.) 하지만, 이들은 원래 방정식인 x1/4=y의 해는 되지 않는다.
- ↑ 대표적인 것으로 F=mdv/dt. dv/dt가 고정돼 있을 경우 고등학교 물리시간에 많이 본 식인 F=ma가 된다.