모듈러산술

개요

모듈러산술(Modular arithmetic)이란, 아래에서 서술할 합동관계에 의해 정수를 연산하는 방법이다.

합동관계

양의 정수 m에 대해

[math]\displaystyle{ m\mid a-b }[/math]

이면 a, b는 법(modulus) m에 대해 합동(congruent)이라 하고,

[math]\displaystyle{ a\equiv b\pmod{m} }[/math]

로 표기한다. 이때 법 m이 고정되어 있지 않으면 동치관계나, 연산을 말하는 것이 의미가 없으므로 아래에서 법 m은 고정된 것으로 생각한다.

이때 ≡는 동치관계이다. 즉, 임의의 정수 [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math]에 대해

• (반사성) [math]\displaystyle{ a\equiv a\pmod{m} }[/math]
• (대칭성) [math]\displaystyle{ a\equiv b\pmod{m} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ b\equiv a\pmod{m} }[/math]
• (추이성) [math]\displaystyle{ a\equiv b\pmod{m} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ b\equiv c\pmod{m} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a\equiv c\pmod{m} }[/math]

이 성립한다(증명은 자명하다).

한편, 정수 [math]\displaystyle{ a,b,c,d }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ a\equiv b\pmod m,\quad c\equiv d\pmod m }[/math]

이면 다음이 성립한다.

• [math]\displaystyle{ a+c\equiv b+d\pmod m }[/math]
• [math]\displaystyle{ ac\equiv bd\pmod m }[/math]

예

• 큿수

2와 7로만 이루어진 자연수를 큿수라고 하면 N자리이고 [math]\displaystyle{ 2^N }[/math]의 배수인 큿수가 존재함을 모듈러산술로 보일 수 있다.

• [math]\displaystyle{ N=1 }[/math]이면 2는 한 자리 자연수인 동시에 2의 배수다.
• [math]\displaystyle{ N=m }[/math]에 대해 명제가 성립한다고 가정하자. 그러면 m자리이고 [math]\displaystyle{ 2^m }[/math]의 배수인 큿수가 존재한다. 이 수를 k라고 하자. 그러면

  [math]\displaystyle{ 2\cdot10^m+k\equiv k\pmod{2^{m+1}} }[/math]

  [math]\displaystyle{ 7\cdot10^m+k\equiv 2^m+k\pmod{2^{m+1}} }[/math]

인데, [math]\displaystyle{ k\equiv 2^m\pmod{2^{m+1}} }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ k\equiv 0\pmod{2^{m+1}} }[/math]이므로 둘 중 하나는 영이다. 따라서 [math]\displaystyle{ N=m+1 }[/math]일 때 명제가 성립하므로, 수학적 귀납법에 의해 원하는 결론을 얻는다.

합동류

≡가 동치관계이므로, 동치류를 정의할 수 있다. 수학

[math]\displaystyle{ \begin{align}[] [a]_n&=\{b\in\mathbb{Z}\vert b\equiv a\pmod{n}\}\\ &=\{b\in\mathbb{Z}\vert b=a+kn,k\in \mathbb{Z}\}\\ &=\{a+kn\vert k\in\mathbb{Z}\}\end{align} }[/math]

를 법 n에 대한 a의 합동류(Congruence class) 또는 잉여류(Residue class)라고 한다. 예를 들어,

[math]\displaystyle{ [0]_3=\{3k\vert k\in\mathbb{Z}\}=\{\cdots,-9,-6,-3,0,3,6,9,\cdots\} }[/math]

[math]\displaystyle{ [1]_3=\{1+3k\vert k\in\mathbb{Z}\}=\{\cdots,-8,-5,-2,1,4,7,10,\cdots\} }[/math]

법 n에 대한 모든 합동류의 집합을 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math]로 쓴다.

합동류의 연산 +와 ·를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ [a]_n+[b]_n=[a+b]_n }[/math]

[math]\displaystyle{ [a]_n\cdot[b]_n=[ab]_n }[/math]

그러면 두 연산은 잘 정의되어 있다. 임의의 합동류 [math]\displaystyle{ [a]_n,[b]_n,[c]_n }[/math]에 대해 다음 성질이 성립한다.

1. [math]\displaystyle{ [a]_n+[b]_n=[a+b]_n\in\mathbb{Z}_n }[/math]
2. [math]\displaystyle{ [a]_n+([b]_n+[c]_n)=([a]_n+[b]_n)+[c]_n }[/math]
3. [math]\displaystyle{ [a]_n+[0]_n=[a]_n=[0]_n+[a]_n }[/math]
4. [math]\displaystyle{ [a]_n+[-a]_n=[0]_n=[-a]_n+[a]_n }[/math]
5. [math]\displaystyle{ [a]_n+[b]_n=[b]_n+[a]_n }[/math]
6. [math]\displaystyle{ [a]_n\cdot[b]_n=[ab]_n\in\mathbb{Z}_n }[/math]
7. [math]\displaystyle{ [a]_n\cdot([b]_n\cdot[c]_n)=([a]_n\cdot[b]_n)\cdot[c]_n }[/math]
8. [math]\displaystyle{ [a]_n\cdot[1]_n=[a]_n=[1]_n\cdot[a]_n }[/math]
9. [math]\displaystyle{ [a]_n\cdot[b]_n=[b]_n\cdot[a]_n }[/math]
10. [math]\displaystyle{ [a]_n\cdot([b]_n+[c]_n)=[a]_n\cdot[b]_n+[a]_n\cdot[c]_n,\; ([a]_n+[b]_n)\cdot[c]_n=[a]_n\cdot[c]_n+[b]_n\cdot[c]_n }[/math]

위의 성질에 의해, [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math]는 가환환임을 알 수 있다.

일반화

추상대수학의 영역으로 가면 합동관계를 다음과 같이 서술할 수 있다:

군

• K는 군 G의 부분군이고 [math]\displaystyle{ a,b\in G }[/math]라 하자. 이때

[math]\displaystyle{ ab^{-1}\in K }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]는 법 K에 대해 합동이라 하고 [math]\displaystyle{ a\equiv b\pmod K }[/math]로 나타낸다. 이 경우에도 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math]는 동치관계라는 것을 보일 수 있다.

환

• I는 환 R의 아이디얼이고 [math]\displaystyle{ a,b\in R }[/math]라 하자. 이때

[math]\displaystyle{ a-b\in I }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]는 법 I에 대해 합동이라 하고 [math]\displaystyle{ a\equiv b\pmod I }[/math]로 나타낸다. 이 경우에도 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math]는 동치관계이며, 임의의 [math]\displaystyle{ a,b,c,d\in R }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a\equiv b\pmod{I} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ c\equiv d\pmod{I} }[/math]이면 다음 연산이 성립함을 보일 수 있다.

[math]\displaystyle{ a+c\equiv b+d\pmod{I} }[/math]

[math]\displaystyle{ ac\equiv bd\pmod{I} }[/math]

[math]\displaystyle{ ac\equiv bd\pmod{I} }[/math]의 증명. [math]\displaystyle{ a\equiv b\pmod{I} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ c\equiv d\pmod{I} }[/math]이이므로

[math]\displaystyle{ ac-bd=ac-bc+bc-bd=(a-b)c+b(c-d)=ic+bj }[/math]

인 [math]\displaystyle{ i,j\in I }[/math]가 존재한다. 이때 아이디얼의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ ic\in I }[/math]이고 [math]\displaystyle{ bj\in I }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ ic+bj\in I }[/math]이므로 원하는 결론을 얻는다.

같이 보기

• 아이디얼