로피탈의 정리

“	대부분의 극한문제를 초토화할 수 있는 궁극의 기술. 개념을 이해하지 않고도 풀 수 있지만 문제가 난잡하거나 실수가 있을 경우엔 계산의 무한 루프에 돌입할 수도 있는 양면성을 지니고 있다. 대부분의 이과생과 학원교사들은 이 기술을 사용하는데 거리낌이 없지만 유독 독학생과 학교 교사들은 이 기술의 사용을 극구 꺼리고 있다. 그러나 그들도 진도의 압박이나 수능에 임박해선 결국 그 편리함과 신속성에 굴복하고 만다.	“
— 학교대사전

개요

로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)는 요한 베르누이가 발견한 정리이지만, 베르누이가 Guillaume de l'Hôpital에게 자신이 발견한 내용을 가르쳐 주었고 로피탈이 자신의 이름으로 발표해도 좋다는 계약을 맺었다. 결국 1696년 로피탈의 저서 Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes에서 이 내용이 소개되었고 베르누이의 정리가 아닌 로피탈의 정리로 알려지게 된다.

진술

1. 구간 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 정의된 미분가능한 함수 [math]\displaystyle{ f,g:(a,b)\to\mathbb{R} }[/math]에 대해 극한값

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math]

가 존재한다고 하자. 이때

• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a+0}f(x)=0,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=0 }[/math]이거나
• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a+0}f(x)=\infty,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=\infty }[/math]

이면,

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math]

이다.

[math]\displaystyle{ a+0 }[/math]을 [math]\displaystyle{ \infty }[/math]로 바꾸어도 로피탈의 정리는 성립한다.

2. 구간 [math]\displaystyle{ (a,\infty) }[/math]에서 정의된 미분가능한 함수 [math]\displaystyle{ f,g:(a,\infty)\to\mathbb{R} }[/math]에 대해 극한값

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math]

가 존재한다고 하자. 이때

• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=0,\;\lim_{x\to\infty}g(x)=0 }[/math]이거나
• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\;\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty }[/math]

이면,

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math]

이다.

증명

임의의 [math]\displaystyle{ x,\alpha\;(a\lt \alpha\lt x) }[/math]에 대해 함수 [math]\displaystyle{ f,g }[/math]는 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ [\alpha,x] }[/math]에서 연속이고 [math]\displaystyle{ (\alpha,x) }[/math]에서 미분가능하므로 코시의 평균값 정리를 사용할 수 있다. 즉,

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)-f(\alpha)}{g(x)-g(\alpha)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} }[/math]

인 [math]\displaystyle{ \xi\in(a,x) }[/math]가 존재한다. 그러면

[math]\displaystyle{ f(x)-f(\alpha)=(g(x)-g(\alpha))\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} }[/math]

이고 양변을 [math]\displaystyle{ g(x) }[/math]로 나누면

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(\alpha)}{g(x)}=\left(1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right)\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} }[/math]

이다. 양변에 [math]\displaystyle{ -l }[/math]을 더하고 정리하면

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)}-l=\frac{f(\alpha)}{g(x)}+\left(1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right)\left(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right)-\frac{g(\alpha)}{g(x)}l }[/math]

이다. 양변에 절댓값을 씌우면 삼각부등식에 의해

[math]\displaystyle{ \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\le \left|\frac{f(\alpha)}{g(x)}\right|+\left|1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right|\left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right|-\left|\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right| |l| }[/math]

이다.

만약 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a+0}f(x)=0,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=0 }[/math]이면 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta_f\gt 0,\delta_g\gt 0 }[/math]이 존재해 각각 임의의 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 0\lt \alpha-a \lt \delta_f,0\lt \alpha-a\lt \delta_g }[/math]이면 [math]\displaystyle{ |f(\alpha)|\lt |g(x)|\frac{\varepsilon}{3},|g(\alpha)|\lt |g(x)|\frac{\varepsilon}{3} }[/math]이다. 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta=\min\{\delta_f,\delta_g\} }[/math]라 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ 0\lt \alpha-a\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ |f(\alpha)|\lt |g(x)|\frac{\varepsilon}{3},\;|g(\alpha)|\lt |g(x)|\frac{\varepsilon}{3} }[/math]이다. 그러면

[math]\displaystyle{ \left|1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right|\lt 1+\frac{\varepsilon}{3} }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ a\lt \alpha\lt a+\delta }[/math]이면

[math]\displaystyle{ \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\lt \frac{\varepsilon}{3}+\left(1+\frac{\varepsilon}{3}\right)\left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right|+\frac{\varepsilon}{3} }[/math]

이다. 가정에 의해, 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta_d\gt 0 }[/math]이 존재해 임의의 [math]\displaystyle{ \xi }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 0\lt x-a\lt \delta_d }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|\frac{f'(x)}{g'(x)}-l\right|\lt \frac{\varepsilon}{4} }[/math]이다. [math]\displaystyle{ 0\lt \xi-a\lt x-a\lt \delta_d }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right|\lt \frac{\varepsilon}{4} }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \delta'=\min\{\delta_d,\delta\} }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ a\lt x\lt a+\delta' }[/math]일 때

[math]\displaystyle{ \left|\frac{f(x)}{g(x)}-l\right|\lt \frac{\varepsilon}{3}+\left(1+\frac{\varepsilon}{3}\right)\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{3}\lt \varepsilon }[/math]

이므로 원하는 결론을 얻는다.

예시

• [math]\displaystyle{ \begin{align} \lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)&=\lim_{x\to 1}\frac{x-1-\ln x}{(x-1)\ln x}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x +\frac{x-1}{x}}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x +1-\frac{1}{x}}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\\ &=\frac{1}{2} \end{align} }[/math]

복소함수로 확장

로피탈의 정리는 복소수체에서 약화된 형태로 확장할 수 있다: 복소함수 [math]\displaystyle{ f,g }[/math]가 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 해석적이고 [math]\displaystyle{ f(z_0)=g(z_0)=0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ g'(z_0)\ne 0 }[/math]이면,

[math]\displaystyle{ \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(z_0)}{g'(z_0)} }[/math]

이다.

대한민국 교육과정 도입 논의

고등학교 수학 교육과정에 로피탈의 정리를 함께 도입함으로써 수능 수리영역 문제를 신속하고 정확하게 풀 수 있다고 주장한 학술지논문이 존재한다. 저자는 고등학생 100명을 로피탈의 정리를 활용하여 문제를 푸는 50명(준거집단)과 기본적인 극한의 성질만 이용해 문제를 푸는 집단(비교집단)으로 나누어 10분 동안 10개의 문제를 풀게 했다. 두 번 테스트한 결과, 준거집단의 성적 평균이 비교집단보다 각각 0.5, 0.7점 높았고, 표준편차는 0.11, 0.07 차이로 근소하게 작았다.

학위논문 중에도 로피탈의 정리를 고등학교 수학 교육과정에 도입하자는 주제를 담은 글이 간간이 올라오곤 한다. 윤찬식(2007)은 로피탈의 정리가 문제해결의 신속성과 정확성을 향상시킬 수 있다는 주장을 펼쳤는데, 이는 이준호 · 이병무(2003)와 비슷하다. 단 기본적인 극한의 성질과 로피탈의 정리를 모두 자유롭게 쓸 수 있도록 한 이준호 · 이병무(2003)와 달리 문제를 기본적인 극한의 성질만 사용해 푼 다음 동일한 문제를 로피탈의 정리만 사용해서 풀도록 제한했다.