라디안

정의

부채꼴의 반지름과 호의 길이가 같을 때 중심각의 크기를 1라디안(radian)이라고 하고, [math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad} }[/math]로 쓴다. 보통 [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]는 생략한다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ \sin (1\operatorname{rad}) }[/math]은 [math]\displaystyle{ \sin 1 }[/math]로 간단하게 표기한다.

역사

라디안이 사용된 것은 비교적 최근으로 알려져 있다.

60분법과의 관계

라디안과 60분법의 관계를 알기 위해서는 세 가지를 머릿속에 담고 있어야 한다.

첫번째로, 원주율에 대해서 명심할 사실이 있는데 π×(원의 지름)=(원의 둘레)라는 사실이다. 양변에 똑같이 2를 나눠보면 π×(원의 지름)/2=(원의 둘레)/2가 되므로 π×(원의 반지름)=(반원의 호의 길이)가 된다.

두번째로, 부채꼴에서 중심각의 크기는 그 부채꼴의 호의 길이에 비례한다는 사실이다.

세번째로, 중심각이 1rad인 부채꼴의 호의 길이는 반지름과 같다.이다.

따라서
π×(원의 반지름):π×1rad=(반원의 호의 길이):(반원의 중심각의 크기)
이렇게 되는데 상술했듯 π×(원의 반지름)=(반원의 호의 길이)이므로
(같은 거):π×1rad=(같은 거):(반원의 중심각의 크기)
가 된다. 서로 같은 것에 대한 비례가 같다는 게 무슨 뜻이겠어? 당연히 그것들도 같다는 뜻이다.

결국
π×1rad=(반원의 중심각의 크기)
가 되므로

'πrad=180°'이다.

도	라디안
0°	0
15°	π/12
30°	π/6
45°	π/4
60°	π/3
90°	π/2
180°	π
360°	2π

상술한 이유로 라디안은 원주율과 합쳐서 각도를 나타낼 때도 있는데 이때 °로 끝나지 않기 때문에 착각을 하기가 쉽다. 상술했듯이 원주율 뒤의 rad를 생략할 때가 많아서서 π/2가 90°의 각도라는 것을 모르고 이게 길이인 줄 알고 잘못 계산하는 경우가 있다. 조심하자.

부채꼴의 반지름의 길이와 호의 길이가 같을 때, 반지름을 [math]\displaystyle{ r }[/math]이라 하면

[math]\displaystyle{ 2\pi r : 360^\circ = r:\alpha^\circ }[/math]

에서

[math]\displaystyle{ \alpha^\circ = \frac{180^\circ}{\pi} }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad}=\frac{180^\circ}{\pi} }[/math]

을 얻는다. 그런데 2015 개정 교육과정을 따르는 미적분Ⅱ 교과서를 검토하면 대부분이 라디안을 "일정한 각의 크기 [math]\displaystyle{ \frac{180^\circ}{\pi} }[/math]를 [math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad} }[/math]이라 한다"라고 정의하고 있는데, 이는 라디안이 새로운 측도가 아니라 단순히 60분법의 변환에 불과하다는 인상을 준다는 단점이 있다.

호의 길이와 넓이

이와 관련한 내용은 부채꼴에서 볼 수 있습니다.

반지름이 [math]\displaystyle{ r }[/math], 중심각이 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]인 부채꼴의 호의 길이를 [math]\displaystyle{ l }[/math], 부채꼴의 넓이를 [math]\displaystyle{ S }[/math]라 하면

[math]\displaystyle{ l=r\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ S=\frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl }[/math]

이다.

Proof 중심각의 크기에 정비례하기 때문에 [math]\displaystyle{ 2\pi r : l = 2\pi : \theta }[/math] 이고, 따라서 호의 길이는 [math]\displaystyle{ l=\frac{2\pi r\cdot \theta}{2\pi}=r\theta }[/math] 이다. 마찬가지로 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례하기 때문에 [math]\displaystyle{ \pi r^2 : S = 2\pi : \theta }[/math] 이고, 따라서 [math]\displaystyle{ S=\frac{\pi r^2\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}rl }[/math] 이다.

여기서 [math]\displaystyle{ l=r\theta }[/math]에 등장하는 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]에는 [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]이 붙어있지 않다. [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]가 붙어 있다고 가정하고, [math]\displaystyle{ r,l }[/math]에 길이 단위인 미터를 붙이면

[math]\displaystyle{ l\;(\mathrm{m})=r\theta\;(\mathrm{m\times rad}) }[/math]

으로 단위 차원이 일치하지 않기 때문이다.

포장함수

이와 관련한 내용은 삼각함수에서 볼 수 있습니다.

원 [math]\displaystyle{ x^2+y^2= r^2\;(r\gt 0) }[/math] 위의 임의의 한 점을 [math]\displaystyle{ \mathrm{P}(x,y) }[/math]라 하고, [math]\displaystyle{ \mathrm{A}=(r,0) }[/math]이며, [math]\displaystyle{ \theta=\angle \mathrm{POA} }[/math]라 하면 삼각함수는 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle{ \sin\theta=\frac{y}{r} }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos\theta=\frac{x}{r} }[/math]

[math]\displaystyle{ \tan\theta=\frac{y}{x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \csc\theta=\frac{r}{y} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sec\theta=\frac{r}{x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \cot\theta=\frac{x}{y} }[/math]

삼각함수는 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수가 맞을까? 래핑을 통한 은유가 제안되기도 한다. 실제로 Precalculus 교재 일부는 포장함수(wrapping function) [math]\displaystyle{ W(x) }[/math]를 정의한다.

[math]\displaystyle{ W(0)=(1,0) }[/math]

[math]\displaystyle{ W(1)=(0,1) }[/math]

[math]\displaystyle{ W\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos\theta }[/math]는 [math]\displaystyle{ W(\theta) }[/math]의 [math]\displaystyle{ x }[/math]좌표, [math]\displaystyle{ \sin\theta }[/math]는 [math]\displaystyle{ W(\theta) }[/math]의 [math]\displaystyle{ y }[/math]좌표로 정의한다.

같이 보기

• 삼각함수