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라디안은 원주율과 합쳐서 각도를 나타낼 때도 있는데 이때 °로 끝나지 않기 때문에 착각을 하기가 쉽다. [[원주율]] 문서에서도 설명했지만, 원주율 뒤의 라디안을 생략할 때가 많다. 그래서 π/2가 90°의 각도라는 것을 모르고 이게 길이인 줄 알고 잘못 계산하는 경우가 있다. 조심하자. | 라디안은 원주율과 합쳐서 각도를 나타낼 때도 있는데 이때 °로 끝나지 않기 때문에 착각을 하기가 쉽다. [[원주율]] 문서에서도 설명했지만, 원주율 뒤의 라디안을 생략할 때가 많다. 그래서 π/2가 90°의 각도라는 것을 모르고 이게 길이인 줄 알고 잘못 계산하는 경우가 있다. 조심하자. | ||
: <math>1\operatorname{rad}=\frac{180^\circ}{\pi}</math> | |||
그런데 [[2015 개정 교육과정]]을 따르는 [[미적분Ⅱ]] [[교과서]]를 검토하면 대부분이 일정한 각의 크기 <math>\frac{180^\circ}{\pi}</math>를 <math>1\operatorname{rad}</math>이라 한다<ref>{{저널 인용|저자=최은아, 강향임|연도=2015|월=9|제목=예비교사의 라디안에 대한 이해|저널=학교수학|권=17|호=2|쪽=313-314}}</ref> | |||
== 호의 길이와 넓이 == | == 호의 길이와 넓이 == | ||
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: <math>\pi r^2 : S = 2\pi : \theta</math> | : <math>\pi r^2 : S = 2\pi : \theta</math> | ||
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: <math>S=\frac{\pi r^2\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\theta</math> | : <math>S=\frac{\pi r^2\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}rl</math> | ||
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== 포장함수 == | == 포장함수 == | ||
{{참조|삼각함수}} | {{참조|삼각함수}} | ||
포장함수(wrapping function) <math>W(x)</math>를 정의한다. | 원 <math>x^2+y^2= r^2\;(r>0)</math> 위의 임의의 한 점을 <math>\mathrm{P}(x,y)</math>라 하고, <math>\mathrm{A}=(r,0)</math>이며, <math>\theta=\angle \mathrm{POA}</math>라 하면 삼각함수는 다음과 같이 정의된다. | ||
: <math>\sin\theta=\frac{y}{r}</math> | |||
: <math>\cos\theta=\frac{x}{r}</math> | |||
: <math>\tan\theta=\frac{y}{x}</math> | |||
: <math>\csc\theta=\frac{r}{y}</math> | |||
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삼각함수는 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수가 맞을까? | |||
포장함수(wrapping function) <math>W(x)</math>를 정의한다.<ref>{{서적 인용|제목=Precalculus: Functions and Graphs|저자=Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen|url=http://www.mhhe.com/math/precalc/barnettpc5/graphics/barnett05pcfg/ch05/others/bpc5_ch05-01.pdf|확인날짜=2016-04-12|판=5th edition|날짜=2000-07-01|출판사=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|ISBN=978-0072368710|장=Chapter 5, Section 1}}</ref> | |||
: <math>W(0)=(1,0)</math> | : <math>W(0)=(1,0)</math> | ||
: <math>W(1)=(0,1)</math> | : <math>W(1)=(0,1)</math> | ||
: <math>W\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)</math> | : <math>W\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)</math> | ||
<math>\cos\theta</math>는 <math>W(\theta)</math>의 <math>x</math>좌표, <math>\sin\theta</math>는 <math>W(\theta)</math>의 <math>y</math>좌표로 정의한다.<ref> | <math>\cos\theta</math>는 <math>W(\theta)</math>의 <math>x</math>좌표, <math>\sin\theta</math>는 <math>W(\theta)</math>의 <math>y</math>좌표로 정의한다.<ref>{{서적 인용|제목=Precalculus: Functions and Graphs|저자=Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen|url=http://www.mhhe.com/math/precalc/barnettpc5/graphics/barnett05pcfg/ch05/others/bpc5_ch05-02.pdf|확인날짜=2016-04-12|판=5th edition|날짜=2000-07-01|출판사=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|ISBN=978-0072368710|장=Chapter 5, Section 2}}</ref> | ||
== 같이 보기 == | == 같이 보기 == | ||
2016년 4월 12일 (화) 21:17 판
정의
부채꼴의 반지름과 호의 길이가 같을 때 중심각의 크기를 1라디안(radian)이라고 하고, [math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad} }[/math]로 쓴다. 보통 [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]는 생략한다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ \sin (1\operatorname{rad}) }[/math]은 [math]\displaystyle{ \sin 1 }[/math]로 간단하게 표기한다.
60분법과의 관계
| 도 | 라디안 |
|---|---|
| 0° | 0 |
| 15° | π/12 |
| 30° | π/6 |
| 45° | π/4 |
| 60° | π/3 |
| 90° | π/2 |
| 180° | π |
| 360° | 2π |
라디안은 원주율과 합쳐서 각도를 나타낼 때도 있는데 이때 °로 끝나지 않기 때문에 착각을 하기가 쉽다. 원주율 문서에서도 설명했지만, 원주율 뒤의 라디안을 생략할 때가 많다. 그래서 π/2가 90°의 각도라는 것을 모르고 이게 길이인 줄 알고 잘못 계산하는 경우가 있다. 조심하자.
- [math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad}=\frac{180^\circ}{\pi} }[/math]
그런데 2015 개정 교육과정을 따르는 미적분Ⅱ 교과서를 검토하면 대부분이 일정한 각의 크기 [math]\displaystyle{ \frac{180^\circ}{\pi} }[/math]를 [math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad} }[/math]이라 한다[1]
호의 길이와 넓이
이와 관련한 내용은 부채꼴에서 볼 수 있습니다.반지름이 [math]\displaystyle{ r }[/math], 중심각이 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]인 부채꼴의 호의 길이를 [math]\displaystyle{ l }[/math], 부채꼴의 넓이를 [math]\displaystyle{ S }[/math]라 하면
- [math]\displaystyle{ l=r\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ S=\frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl }[/math]
이다.
Proof 중심각의 크기에 정비례하기 때문에
이고, 따라서 호의 길이는
이다. 마찬가지로 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례하기 때문에
이고, 따라서
|
여기서 [math]\displaystyle{ l=r\theta }[/math]에 등장하는 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]에는 [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]이 붙어있지 않다. [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]가 붙어 있다고 가정하고, [math]\displaystyle{ r,l }[/math]에 길이 단위인 미터를 붙이면
- [math]\displaystyle{ l\;(\mathrm{m})=r\theta\;(\mathrm{m\times rad}) }[/math]
으로 단위 차원이 일치하지 않기 때문이다.[2]
포장함수
이와 관련한 내용은 삼각함수에서 볼 수 있습니다.원 [math]\displaystyle{ x^2+y^2= r^2\;(r\gt 0) }[/math] 위의 임의의 한 점을 [math]\displaystyle{ \mathrm{P}(x,y) }[/math]라 하고, [math]\displaystyle{ \mathrm{A}=(r,0) }[/math]이며, [math]\displaystyle{ \theta=\angle \mathrm{POA} }[/math]라 하면 삼각함수는 다음과 같이 정의된다.
- [math]\displaystyle{ \sin\theta=\frac{y}{r} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \cos\theta=\frac{x}{r} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \tan\theta=\frac{y}{x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \csc\theta=\frac{r}{y} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sec\theta=\frac{r}{x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \cot\theta=\frac{x}{y} }[/math]
삼각함수는 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수가 맞을까? 포장함수(wrapping function) [math]\displaystyle{ W(x) }[/math]를 정의한다.[3]
- [math]\displaystyle{ W(0)=(1,0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ W(1)=(0,1) }[/math]
- [math]\displaystyle{ W\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right) }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\theta }[/math]는 [math]\displaystyle{ W(\theta) }[/math]의 [math]\displaystyle{ x }[/math]좌표, [math]\displaystyle{ \sin\theta }[/math]는 [math]\displaystyle{ W(\theta) }[/math]의 [math]\displaystyle{ y }[/math]좌표로 정의한다.[4]
같이 보기
각주
- ↑ 최은아, 강향임 (2015년 9월). 예비교사의 라디안에 대한 이해. 《학교수학》 17 (2): 313-314.
- ↑ 김완재 (2009년 8월). 라디안의 속성에 관한 연구: 1rad은 각인가 실수인가?. 《수학교육학연구》 19 (3): 446.
- ↑ Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen (2000년 7월 1일). 〈Chapter 5, Section 1〉, 《Precalculus: Functions and Graphs》, 5th edition, McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0072368710. 2016년 4월 12일에 확인.
- ↑ Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen (2000년 7월 1일). 〈Chapter 5, Section 2〉, 《Precalculus: Functions and Graphs》, 5th edition, McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0072368710. 2016년 4월 12일에 확인.