라디안

정의

부채꼴의 반지름과 호의 길이가 같을 때 중심각의 크기를 1라디안(radian)이라고 하고, [math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad} }[/math]로 쓴다. 보통 [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]는 생략한다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ \sin (1\operatorname{rad}) }[/math]은 [math]\displaystyle{ \sin 1 }[/math]로 간단하게 표기한다.

60분법과의 관계

도	라디안
0°	0
15°	π/12
30°	π/6
45°	π/4
90°	π/2
180°	π
360°	2π

라디안은 원주율과 합쳐서 각도를 나타낼 때도 있는데 이때 °로 끝나지 않기 때문에 착각을 하기가 쉽다. 원주율 문서에서도 설명했지만, 원주율 뒤의 라디안을 생략할 때가 많다. 그래서 π/2가 90°의 각도라는 것을 모르고 이게 길이인 줄 알고 잘못 계산하는 경우가 있다. 조심하자.

호의 길이와 넓이

이와 관련한 내용은 부채꼴에서 볼 수 있습니다.

반지름이 [math]\displaystyle{ r }[/math], 중심각이 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]인 부채꼴의 호의 길이를 [math]\displaystyle{ l }[/math], 부채꼴의 넓이를 [math]\displaystyle{ S }[/math]라 하면

[math]\displaystyle{ l=r\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ S=\frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl }[/math]

이다.

Proof 중심각의 크기에 정비례하기 때문에 [math]\displaystyle{ 2\pi r : l = 2\pi : \theta }[/math] 이고, 따라서 호의 길이는 [math]\displaystyle{ l=\frac{2\pi r\cdot \theta}{2\pi}=r\theta }[/math] 이다. 마찬가지로 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례하기 때문에 [math]\displaystyle{ \pi r^2 : S = 2\pi : \theta }[/math] 이고, 따라서 [math]\displaystyle{ S=\frac{\pi r^2\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\theta }[/math] 이다.

여기서 [math]\displaystyle{ l=r\theta }[/math]에 등장하는 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]에는 [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]이 붙어있지 않다. [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]가 붙어 있다고 가정하고, [math]\displaystyle{ r,l }[/math]에 길이 단위인 미터를 붙이면

[math]\displaystyle{ l\;(\mathrm{m})=r\theta\;(\mathrm{m\times rad}) }[/math]

으로 단위 차원이 일치하지 않기 때문이다.

포장함수

이와 관련한 내용은 삼각함수에서 볼 수 있습니다.

포장함수(wrapping function) [math]\displaystyle{ W(x) }[/math]를 정의한다.

[math]\displaystyle{ W(0)=(1,0) }[/math]

[math]\displaystyle{ W(1)=(0,1) }[/math]

[math]\displaystyle{ W\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos\theta }[/math]는 [math]\displaystyle{ W(\theta) }[/math]의 [math]\displaystyle{ x }[/math]좌표, [math]\displaystyle{ \sin\theta }[/math]는 [math]\displaystyle{ W(\theta) }[/math]의 [math]\displaystyle{ y }[/math]좌표로 정의한다.

같이 보기

• 삼각함수