정의
대칭군(Symmetric group)은 함수의 합성을 연산으로 하는 모든 치환 [math]\displaystyle{ \sigma:\{1,2,\cdots, n\}\to\{1,2,\cdots, n\} }[/math]의 집합으로, [math]\displaystyle{ S_n }[/math]으로 나타낸다.
대칭군은 군인가?
대칭군의 원소 [math]\displaystyle{ f,g,h\in S_n }[/math]에 대해,
- 일대일 대응의 합성은 일대일 대응이므로 [math]\displaystyle{ f \circ g\in S_n }[/math]
- 일대일 대응의 합성은 결합법칙이 성립하므로 [math]\displaystyle{ (f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h) }[/math]
- [math]\displaystyle{ e=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n\end{pmatrix} }[/math]으로 정의하면 [math]\displaystyle{ f\circ e= e \circ f =f }[/math]이다.
- 일대일 대응의 역함수는 일대일 대응이므로, 임의의 [math]\displaystyle{ f }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f^{-1}\in S_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f = e }[/math]이다.
따라서 대칭군은 군이다. 그러나 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않으므로, 대칭군은 일반적으로 아벨군이 아니다.
원소표기
- 코시의 두줄 표기법: 첫번째 줄에는 1~n까지 적고 그 다음 줄에 각 수에 대응되는 수를 적는 방법이다. 각각이 어떻게 치환되는지 쉽게 알 수 있다.
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 3 & 2 & \cdots & n\end{pmatrix} }[/math]
- 순환마디의 곱으로 표기: 어떤 원소를 시작으로 그 원소와 대응하는 원소를 다음에 적고 그 다음에 또 대응하는 원소를 적는 식으로 처음 원소가 될 때까지 계속 적어낸 것을 순환마디라고 한다. 이런 순환마디를 여러개 적어 원소를 표시한다. 또한 길이가 1인 순환마디는 생략한다.
- [math]\displaystyle{ (1~2~3~4)(5~6) }[/math]
- 이 예시는 [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 5 \end{pmatrix} }[/math]를 의미한다(생략된 순환마디가 없다면).
- 항등원의 경우 순환마디의 길이가 모두 1이라 다 생략하고 아무것도 남지 않아... 예외적으로 [math]\displaystyle{ 1 }[/math]로 적는다.
- 특별한 경우가 아니면 가독성이 떨어져서 순환마디에 나온 원소가 다른 순환마디에 적지 않는다. 예로, [math]\displaystyle{ (1~2)(2~3) }[/math]대신 [math]\displaystyle{ (1~3~2) }[/math]로 적는다. 다만 길이가 2인 순환마디로 나타낼 수 있음을 강조하고 싶을 때에는 앞의 경우를 쓴다.
특징
- [math]\displaystyle{ |S_n| = n! }[/math]
- 단순군이 아니다. 교대군 [math]\displaystyle{ A_n }[/math]이 대칭군[math]\displaystyle{ S_n }[/math]의 정규부분군이기 때문이다.
- 유한군의 위수가 [math]\displaystyle{ n }[/math]일 때, 그 유한군은 [math]\displaystyle{ S_n }[/math]의 부분군이다.
- [math]\displaystyle{ 5 \leq n }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ S_n }[/math]는 가해군이다. [math]\displaystyle{ n \leq 4 }[/math]일 때에는 가해군이 아니다.