기저

선형대수학에서

정의

벡터공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 원소들 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n }[/math]이 선형독립이고 [math]\displaystyle{ V }[/math]를 생성할 때, [math]\displaystyle{ \mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n }[/math]를 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 기저(basis)라고 한다. 모든 선택공리를 인정하는 경우 벡터공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다. 여기서 "모든 벡터공간은 기저를 가진다."는 선택 공리와 동치인 명제로, 흔히 초른의 보조정리(Zorn's Lemma)라고 불린다.

차원

[math]\displaystyle{ V }[/math]의 한 기저에 들어 있는 벡터의 개수를 차원(dimension)이라 하고, [math]\displaystyle{ \dim V }[/math]로 나타낸다. 여기서 이것이 함수임이, 즉 한 벡터공간에서 어떤 기저를 골라도 포함되어 있는 벡터의 개수가 같음을 "Dimension Theorem"이라고 한다(차원의 유일성). 임의의 벡터 공간에서 차원이 잘 정의되려면 기저를 고를 수 있어야 하기 때문에, 차원의 존재성은 선택 공리를 필요로 한다.

설명

기저는 일차독립인 최대크기의 벡터순서쌍을 말하며, 차원은 직관적으로 그 공간에 정보가 몇 개 있느냐를 말한다. 가령 xy평면에서 x축과 y축이 바로 기저가 된다(정확히는 x축 방향 단위벡터와 y축 방향 단위벡터). xy 평면 위의 모든 점은 x좌표와 y좌표 두 개의 숫자만으로 다 표현되고, 또 유일하게 표현된다. 만일 다른 정보를 만들 수 있더라도(예를 들어 원점으로부터의 거리), 이는 x좌표와 y좌표로 나타낼 수 있다. 즉 [math]\displaystyle{ r = \sqrt{x^2 + y^2} }[/math].

그렇다면 무한차원 벡터공간도 존재할 수 있는지 의문을 갖게 된다. 즉 한 벡터를 나타내는 데 정보가 무한히 많이 필요하다는 건데… 당연히 가능하다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]벡터공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]이라든가, 함수공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^\mathbb{R} = \left\{ f|f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \right\} }[/math]만 생각해 봐도 그렇다. 이런 공간의 기저를 찾기란… 시도하지 않는 것을 권장한다. 다만 선택공리가 있으면 존재성은 보장할 수 있다.

대학생들이 들어볼 수 있는 가장 유명하고 기초적인 기저는 바로 삼각함수이다. Cos 파와 Sin 파는 서로 직교성을 지니는데 이 개념을 이용해 두 함수로 다른 파동을 표현할 수가 있다. 그게 바로 푸리에 변환.

위상수학에서

주어진 위상공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]와 그 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal T }[/math]에 대하여, 열린집합들로 이루어진 집합 [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math]로 모든 위상의 원소를 만들 수 있다면, 더 명시적으로는, [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math]의 원소들의 합집합이나 유한한 교집합으로 표현가능할 때 [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math]를 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal T }[/math]의 기저(base, basis)라고 부른다.

선형대수학과의 비교

• 위상수학에서의 기저의 정의, 즉 위상공간의 열린 집합을 기저의 arbitrary union과 finite intersection으로 표현하는 것은 선형대수학에서 모든 벡터 공간의 원소가 기저의 일차결합으로 표시됨과 비슷하다. 하지만 주어진 선형대수학의 기저로의 벡터의 표현은 유일한데 비하여, 위상수학의 것은 그렇지 않다.
• 선형대수학에서, 만약 어떤 집합이 일차독립이고 주어진 벡터 공간을 생성한다면 그것은 기저가 된다. 이는 위상수학에서도 마찬가지인데, 주어진 위상공간이 있을 때, 만약 집합 [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math]가 열린 집합들의 모임이고 다음을 만족하면 이것은 주어진 위상공간의 어떤 위상의 기저가 된다:

[math]\displaystyle{ \forall U\subseteq X \text{ s.t. }U\text{ is open}\forall x\in U \exists B\in \mathfrak B, x\in B \subseteq U. }[/math]