공종도

수학에서, 특히 집합론이나 순서론에서, 반순서집합(poset) [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]의 공종도(영어: cofinality, 한자: 共終度, 일본어: 共終数, 중국어: 共尾性) [math]\displaystyle{ \operatorname{cf}(\alpha) }[/math]는 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]의 공종 부분집합의 최소(least) 기수를 말한다. 이는 서수나 기수가 얼마나 복잡한지를 나타내며, 모든 서수나 기수는 그 공종도에 적절한 연산을 하여 나타낼 수 있다.

또한 공종도를 정의할 때, 기수들의 공 아닌 집합(collection)은 최소원소를 갖는다는 가정을 하는데, 이는 정렬정리로 선택공리와 동치인 명제이다. 즉, 공종도가 잘 정의되려면 선택공리가 필요하다.

정의

[math]\displaystyle{ A }[/math]를 이항 연산 [math]\displaystyle{ \le }[/math]를 가지고 있는 반순서집합이라고 하자. 만약 다음을 만족하는 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math]가 존재하면 [math]\displaystyle{ B }[/math]는 공종 집합이라고 한다:

모든 [math]\displaystyle{ a \in A }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ a\le b }[/math]인 [math]\displaystyle{ b\in B }[/math]가 존재한다.

이런 [math]\displaystyle{ B }[/math]의 기수들을 모아 놓은 집합 [math]\displaystyle{ \mathcal B =\{ |B| \} }[/math]의 최소원 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]를 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 공종도라고 한다.

서수의 경우

서수, 특히 극한서수(limit ordinal)의 경우, 동치인 정의가 있다:

• [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]를 극한서수라 하자. 이때 [math]\displaystyle{ \sup_{i\lt \lambda} \alpha_i = \alpha }[/math]인 [math]\displaystyle{ \langle \alpha_i \lt \alpha: \, i \lt \lambda \rangle }[/math]이 존재하는 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] 중 최소의 것을 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]의 공종도라 한다.
• 서수 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]의 공종도는 그 공종 집합들의 순서형(order type)들 중 가장 작은 서수이다.

정칙 서수와 특이 서수

[math]\displaystyle{ \operatorname{cf}(\alpha) = \alpha }[/math]인 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]를 정칙 서수(regular ordinal)라고 하고, 그렇지 않은 서수를 특이 서수(singular ordinal)이라고 한다. 당연하게도 모든 정칙 서수는 기수이다.

서수 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]에 대하여 다음이 성립한다:

• [math]\displaystyle{ \operatorname{cf}(\alpha) = 0 \Longleftrightarrow \alpha = 0, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \operatorname{cf}(\alpha) = 1 \Longleftrightarrow \alpha \mbox{ is a successor ordinal}, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \operatorname{cf}(\alpha) = \omega \Longleftarrow \alpha \mbox{ is countable}, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]가 비가산일 때에는 그 공종도가 [math]\displaystyle{ \omega }[/math]일 수도 있고 더 클 수도 있다.