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이런 <math>B</math>의 기수들을 모아 놓은 집합 <math>\mathcal B =\{ |B| \}</math>의 최소원 <math>\lambda</math>를 <math>A</math>의 '''공종도'''라고 한다. | 이런 <math>B</math>의 기수들을 모아 놓은 집합 <math>\mathcal B =\{ |B| \}</math>의 최소원 <math>\lambda</math>를 <math>A</math>의 '''공종도'''라고 한다. | ||
=== 서수의 경우 === | |||
==== 정칙 서수와 특이 서수 ==== | |||
=== 기수의 경우 === | |||
== 예시 == | |||
== 성질 == | |||
2016년 1월 19일 (화) 14:08 판
수학에서, 특히 집합론이나 순서론에서, 반순서집합(poset) [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]의 공종도(영어: cofinality, 한자: 共終度, 일본어: 共終数, 중국어: 共尾性) [math]\displaystyle{ \operatorname{cf}(\alpha) }[/math]는 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]의 공종 부분집합의 최소(least) 기수를 말한다. 이는 서수나 기수가 얼마나 복잡한지를 나타내며, 모든 서수나 기수는 그 공종도에 적절한 연산을 하여 나타낼 수 있다.
또한 공종도를 정의할 때, 기수들의 공 아닌 집합(collection)은 최소원소를 갖는다는 가정을 하는데, 이는 정렬정리로 선택공리와 동치인 명제이다. 즉, 공종도가 잘 정의되려면 선택공리가 필요하다.
정의
[math]\displaystyle{ A }[/math]를 이항 연산 [math]\displaystyle{ \le }[/math]를 가지고 있는 반순서집합이라고 하자. 만약 다음을 만족하는 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math]가 존재하면 [math]\displaystyle{ B }[/math]는 공종 집합이라고 한다:
- 모든 [math]\displaystyle{ a \in A }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ a\le b }[/math]인 [math]\displaystyle{ b\in B }[/math]가 존재한다.
이런 [math]\displaystyle{ B }[/math]의 기수들을 모아 놓은 집합 [math]\displaystyle{ \mathcal B =\{ |B| \} }[/math]의 최소원 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]를 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 공종도라고 한다.