감마함수

정의

이상적분으로 정의된 함수

[math]\displaystyle{ \Gamma(x)=\begin{cases} \int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt,&x\gt 0\\ \dfrac{\Gamma(x+1)}{x}&x\lt 0\text{ and }x\not\in \mathbb{Z} \end{cases} }[/math]

를 감마함수(Gamma function)라고 한다.

성질

[math]\displaystyle{ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin \pi x} }[/math]

감마함수의 정의역을 자연수로 국한시키면 계승(팩토리얼)이 된다. 양이 아닌 정수에서는 발산한다.