정의
복소함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ 0\lt |z-z_0|\lt R }[/math]에서 해석적이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 로랑 급수
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n }[/math]
이 존재한다. 이때 [math]\displaystyle{ a_{-1} }[/math]을 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 유수(Residue)라 하고, [math]\displaystyle{ \operatorname{Res}(f;z_0) }[/math]이라 한다.
유수를 다른 방법으로 정의하기도 한다. 단순닫혀 있고 양의 방향인 경로 [math]\displaystyle{ C }[/math]가 주어졌을 때, 복소함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ C }[/math] 위와 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]을 제외한 내부에서 해석적이고 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]이 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 고립특이점이면,
- [math]\displaystyle{ \operatorname{Res}(f;z_0)=\int_C f(z)dz }[/math]
을 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 유수라고 한다.
계산
[math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ z=z_0 }[/math]에서 단순극을 가질 때
- [math]\displaystyle{ \operatorname{Res}(f;z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) }[/math]
이다. 더욱이 극점의 계수가 [math]\displaystyle{ n }[/math]일 때
- [math]\displaystyle{ \operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-z_0)^n f(z)\right) }[/math]
이 성립한다.
예시
- [math]\displaystyle{ z^n\;(n\in\mathbb{Z}) }[/math]의 [math]\displaystyle{ z=0 }[/math]에서의 유수는 [math]\displaystyle{ n=-1 }[/math]일 때 1, [math]\displaystyle{ n\ne -1 }[/math]일 때 0이다.
- [math]\displaystyle{ \displaystyle e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} }[/math]의 임의의 점에서의 유수는 0이다.
유수 정리
이와 관련한 내용은 유수 정리에서 볼 수 있습니다.- [math]\displaystyle{ \int_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \operatorname{Res}(f;z_j) }[/math]