개요
리우빌의 정리(Liouville's theorem)은 복소공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]에서 유계인 전해석함수는 상수함수뿐이라는, 복소해석학의 정리이다. 물론 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]에서는 [math]\displaystyle{ \sin x }[/math], [math]\displaystyle{ \cos x }[/math] 등의 반례를 쉽게 찾을 수 있다.
진술
증명
복소함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 반지름이 [math]\displaystyle{ R }[/math]이고 중심이 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]인 원 [math]\displaystyle{ C_R }[/math] 위와 그 내부에서 해석적이고 [math]\displaystyle{ C_R }[/math] 위에서 [math]\displaystyle{ |f(z)|\le M }[/math]인 [math]\displaystyle{ M\in\mathbb{R} }[/math]이 존재하면 코시의 적분공식과 추정 보조정리에 의해
- [math]\displaystyle{ \left|f^{(n)} (z_0)\right|\le \frac{n! M}{R^n} }[/math]
을 얻는다. 이때 [math]\displaystyle{ n=1 }[/math]로 두면
- [math]\displaystyle{ |f'(z_0)|\le \frac{M}{R} }[/math]
인데, [math]\displaystyle{ f }[/math]가 전해석함수이면 [math]\displaystyle{ R }[/math]을 임의의 양수로 둘 수 있으므로 임의의 [math]\displaystyle{ z_0 \in \mathbb{C} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f'(z_0)=0 }[/math]을 얻는다. 따라서 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.