코시의 적분공식

코시의 적분공식(Cauchy's integral formula)은 복소함수론의 정리이다.

진술

Γ를 양의 방향의 단순닫힌 경로라고 하자. f가 Γ를 포함하는 단순연결영역에서 해석적이고 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]이 Γ 내부의 임의의 점이라면,

[math]\displaystyle{ \displaystyle f\left(z_0\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f\left(z\right)}{z-z_0}dz }[/math]

이다. 더욱이 f의 n계도함수는

[math]\displaystyle{ \displaystyle f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}}dz }[/math]

로 나타낼 수 있다.

증명

[math]\displaystyle{ \dfrac{f\left(z\right)}{z-z_0} }[/math]는 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]을 제외한 D 위의 모든 점에서 해석적이다. 따라서 Γ는 양의 방향을 가지는 원 [math]\displaystyle{ C_r : \left|z-z_0\right|=r }[/math]로 연속적 변형이 가능하다. 따라서

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{\Gamma} \frac{f\left(z\right)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f\left(z\right)}{z-z_0}dz }[/math]

이다. 이때

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{C_r} \frac{f\left(z\right)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f\left(z_0\right)}{z-z_0}dz+\int_{C_r} \frac{f\left(z\right)-f\left(z_0\right)}{z-z_0}dz }[/math]

이고, [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{C_r} \frac{f\left(z_0\right)}{z-z_0}dz =f\left(z_0\right)2\pi i }[/math]이므로,

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{\Gamma} \frac{f\left(z\right)}{z-z_0}dz = f\left(z_0\right)2\pi i + \int_{C_r} \frac{f\left(z\right)-f\left(z_0\right)}{z-z_0}dz }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ M_r=\max\{\left|f\left(z\right)-f\left(z_0\right)\right| : z\; \mathrm{on}\; C_r\} }[/math]이라 하자. 그러면

[math]\displaystyle{ \displaystyle\left|\frac{f\left(z\right)-f\left(z_0\right)}{z-z_0}\right|\le \frac{M_r}{r} }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \left|\int_{C_r} \frac{f\left(z\right)-f\left(z_0\right)}{z-z_0}dz\right|\le 2\pi r \cdot \frac{M_r}{r} = 2\pi M_r }[/math]

이다. f는 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 연속이므로, [math]\displaystyle{ r\to 0 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ M_r \to 0 }[/math]이다. 따라서

[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{r\to +0}\int_{C_r} \frac{f\left(z\right)-f\left(z_0\right)}{z-z_0}dz=0 }[/math]

이고, 원하는 결론을 얻는다.

예시

C를 양의 방향으로 한 번 가로지르는 원 [math]\displaystyle{ \left|z\right|=2 }[/math]라고 할 때, [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2\left(z-4\right)}dz }[/math]의 값을 구하자.

[math]\displaystyle{ f\left(z\right)=\dfrac{\sin z}{z-4} }[/math]로 정의하면, [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2\left(z-4\right)}dz=\int_C \frac{f\left(z\right)}{z^2}dz }[/math]이고 [math]\displaystyle{ f'\left(z\right)=\dfrac{\left(z-4\right)\cos z-\sin z}{\left(z-4\right)^2} }[/math]이다.

따라서 [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2\left(z-4\right)}dz=\int_C \frac{f\left(z\right)}{z^2}dz=f'\left(0\right)2\pi i=-\dfrac{\pi i}{2} }[/math]를 얻는다.

같이 보기

• 코시의 적분정리
• 모레라의 정리
• 리우빌의 정리

참고문헌

• Saff, E. B.; Snider, A. D. (2003), Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 0139078746