정의
부채꼴의 반지름과 호의 길이가 같을 때 중심각의 크기를 1라디안(radian)이라고 하고, [math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad} }[/math]로 쓴다. 보통 [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]는 생략한다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ \sin (1\operatorname{rad}) }[/math]은 [math]\displaystyle{ \sin 1 }[/math]로 간단하게 표기한다.
60분법과의 관계
도 | 라디안 |
---|---|
0° | 0 |
15° | π/12 |
30° | π/6 |
45° | π/4 |
60° | π/3 |
90° | π/2 |
180° | π |
360° | 2π |
라디안은 원주율과 합쳐서 각도를 나타낼 때도 있는데 이때 °로 끝나지 않기 때문에 착각을 하기가 쉽다. 원주율 문서에서도 설명했지만, 원주율 뒤의 라디안을 생략할 때가 많다. 그래서 π/2가 90°의 각도라는 것을 모르고 이게 길이인 줄 알고 잘못 계산하는 경우가 있다. 조심하자.
- [math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad}=\frac{180^\circ}{\pi} }[/math]
그런데 2015 개정 교육과정을 따르는 미적분Ⅱ 교과서를 검토하면 대부분이 일정한 각의 크기 [math]\displaystyle{ \frac{180^\circ}{\pi} }[/math]를 [math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad} }[/math]이라 한다[1]
호의 길이와 넓이
반지름이 [math]\displaystyle{ r }[/math], 중심각이 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]인 부채꼴의 호의 길이를 [math]\displaystyle{ l }[/math], 부채꼴의 넓이를 [math]\displaystyle{ S }[/math]라 하면
- [math]\displaystyle{ l=r\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ S=\frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl }[/math]
이다.
Proof 중심각의 크기에 정비례하기 때문에
이고, 따라서 호의 길이는
이다. 마찬가지로 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례하기 때문에
이고, 따라서
|
여기서 [math]\displaystyle{ l=r\theta }[/math]에 등장하는 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]에는 [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]이 붙어있지 않다. [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]가 붙어 있다고 가정하고, [math]\displaystyle{ r,l }[/math]에 길이 단위인 미터를 붙이면
- [math]\displaystyle{ l\;(\mathrm{m})=r\theta\;(\mathrm{m\times rad}) }[/math]
으로 단위 차원이 일치하지 않기 때문이다.[2]
포장함수
원 [math]\displaystyle{ x^2+y^2= r^2\;(r\gt 0) }[/math] 위의 임의의 한 점을 [math]\displaystyle{ \mathrm{P}(x,y) }[/math]라 하고, [math]\displaystyle{ \mathrm{A}=(r,0) }[/math]이며, [math]\displaystyle{ \theta=\angle \mathrm{POA} }[/math]라 하면 삼각함수는 다음과 같이 정의된다.
- [math]\displaystyle{ \sin\theta=\frac{y}{r} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \cos\theta=\frac{x}{r} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \tan\theta=\frac{y}{x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \csc\theta=\frac{r}{y} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sec\theta=\frac{r}{x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \cot\theta=\frac{x}{y} }[/math]
삼각함수는 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수가 맞을까? 포장함수(wrapping function) [math]\displaystyle{ W(x) }[/math]를 정의한다.[3]
- [math]\displaystyle{ W(0)=(1,0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ W(1)=(0,1) }[/math]
- [math]\displaystyle{ W\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right) }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\theta }[/math]는 [math]\displaystyle{ W(\theta) }[/math]의 [math]\displaystyle{ x }[/math]좌표, [math]\displaystyle{ \sin\theta }[/math]는 [math]\displaystyle{ W(\theta) }[/math]의 [math]\displaystyle{ y }[/math]좌표로 정의한다.[4]
같이 보기
각주
- ↑ 최은아, 강향임 (2015년 9월). 예비교사의 라디안에 대한 이해. 《학교수학》 17 (2): 313-314.
- ↑ 김완재 (2009년 8월). 라디안의 속성에 관한 연구: 1rad은 각인가 실수인가?. 《수학교육학연구》 19 (3): 446.
- ↑ Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen (2000년 7월 1일). 〈Chapter 5, Section 1〉, 《Precalculus: Functions and Graphs》, 5th edition, McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0072368710. 2016년 4월 12일에 확인.
- ↑ Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen (2000년 7월 1일). 〈Chapter 5, Section 2〉, 《Precalculus: Functions and Graphs》, 5th edition, McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0072368710. 2016년 4월 12일에 확인.