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유수 (복소해석학): 두 판 사이의 차이

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을 <math>z_0</math>에서 <math>f</math>의 유수라고 한다.
을 <math>z_0</math>에서 <math>f</math>의 유수라고 한다.
== 계산 ==
== 계산 ==
<math>z=z_0</math>에서 단순극을 가질 때
<math>f</math>가 <math>z=z_0</math>에서 단순극을 가질 때
: <math>\operatorname{Res}(f;z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>
: <math>\operatorname{Res}(f;z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>
이다. 더욱이 극점의 계수가 <math>n</math>일 때
이다. 더욱이 극점의 계수가 <math>n</math>일 때
: <math>\operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-z_0)^n f(z)\right)</math>
: <math>\operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-z_0)^n f(z)\right)</math>
이 성립한다.
이 성립한다.
=== 예제 ===
 
* 문제: 양의 방향인 경로 <math>C</math>에 대해 <math>C:|z|=1</math>일 때, <math>\int_C \frac{e^z}{z^2}dz</math>를 구하시오.
== 예시 ==
{{글 숨김|제목=Solution|1=
* <math>z^n\;(n\in\mathbb{Z})</math>의 <math>z=0</math>에서의 유수는 <math>n=-1</math>일 때 [[1]], <math>n\ne -1</math>일 때 [[0]]이다.
<math>\frac{e^z}{z^2}</math>는 <math>z=0</math>에서 극점을 가지며, 극점의 계수는 2이다. 따라서
* <math>\displaystyle e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}</math>의 임의의 점에서의 유수는 0이다.
: <math>\begin{align}
 
\operatorname{Res}f(f;0)&=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}z^2 \frac{e^z}{z^2}\\
&=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}e^z\\
&=\lim_{z\to 0}e^z\\
&=1
\end{align}</math>
이므로
: <math>\begin{align}
\int_C \frac{e^z}{z^2}dz&=2\pi i \cdot 1\\
&=2\pi i
\end{align}</math>
이다.
}}
== 유수 정리 ==
== 유수 정리 ==
{{참조|유수 정리}}
{{참조|유수 정리}}

2018년 12월 27일 (목) 17:45 판

정의

복소함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ 0\lt |z-z_0|\lt R }[/math]에서 해석적이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 로랑 급수

[math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n }[/math]

이 존재한다. 이때 [math]\displaystyle{ a_{-1} }[/math]을 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 유수(Residue)라 하고, [math]\displaystyle{ \operatorname{Res}(f;z_0) }[/math]이라 한다.

유수를 다른 방법으로 정의하기도 한다. 단순닫혀 있고 양의 방향인 경로 [math]\displaystyle{ C }[/math]가 주어졌을 때, 복소함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ C }[/math] 위와 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]을 제외한 내부에서 해석적이고 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]이 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 고립특이점이면,

[math]\displaystyle{ \operatorname{Res}(f;z_0)=\int_C f(z)dz }[/math]

을 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 유수라고 한다.

계산

[math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ z=z_0 }[/math]에서 단순극을 가질 때

[math]\displaystyle{ \operatorname{Res}(f;z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) }[/math]

이다. 더욱이 극점의 계수가 [math]\displaystyle{ n }[/math]일 때

[math]\displaystyle{ \operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-z_0)^n f(z)\right) }[/math]

이 성립한다.

예시

  • [math]\displaystyle{ z^n\;(n\in\mathbb{Z}) }[/math]의 [math]\displaystyle{ z=0 }[/math]에서의 유수는 [math]\displaystyle{ n=-1 }[/math]일 때 1, [math]\displaystyle{ n\ne -1 }[/math]일 때 0이다.
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} }[/math]의 임의의 점에서의 유수는 0이다.

유수 정리

Crystal Clear app xmag.svg 이와 관련한 내용은 유수 정리에서 볼 수 있습니다.
[math]\displaystyle{ \int_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \operatorname{Res}(f;z_j) }[/math]