멱영원

정의

환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ a }[/math]에 대해,

[math]\displaystyle{ a^n = 0_R }[/math]

인 양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 존재하면 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 멱영원(nilpotent element)이라고 한다.

예시

• [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & -1 \end{bmatrix} }[/math]은 [math]\displaystyle{ M_{2,2}(\mathbb{R}) }[/math]의 멱영원이다.
• [math]\displaystyle{ 0,2\in \mathbb{Z}_4 }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_4 }[/math]의 멱영원이다. 일반적으로 [math]\displaystyle{ [a]_n }[/math]이 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math]의 멱영원이 될 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 모든 소인수가 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 인수인 것이다.

성질

• [math]\displaystyle{ 0_R }[/math]은 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 멱영원이다.
• 항등원이 있는 환에 대해, [math]\displaystyle{ a }[/math]가 멱영원이면 [math]\displaystyle{ 1_R+a, 1_R-a }[/math]는 단원이다. 일반적으로, 항등원이 있는 가환환의 단원과 영인자의 합은 단원이다.

[math]\displaystyle{ 1_R+a }[/math]와 [math]\displaystyle{ 1_R-a }[/math]가 단원임은

[math]\displaystyle{ 1_R=a^n + 1_R = (a+1_R)(a^{n-1}-a^{n-2}+\cdots-a+1_R)=(a^{n-1}-a^{n-2}+\cdots-a+1_R)(a+1_R) }[/math]

[math]\displaystyle{ 1_R=-a^n + 1_R = (-a+1_R)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1_R)=(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1_R)(-a+1_R) }[/math]

임을 보임으로써 알 수 있다. 항등원이 있는 가환환의 단원과 영인자를 각각 [math]\displaystyle{ u,z }[/math]라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ u^{-1}z }[/math]는 영인자이므로 [math]\displaystyle{ 1+u^{-1}z }[/math]는 단원임을 안다. 한편 [math]\displaystyle{ u+z=u(1+u^{-1}z) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ u+z }[/math]는 단원이다.

• [math]\displaystyle{ R }[/math]이 영이 아닌 멱영원을 가지지 않을 필요충분조건은 방정식 [math]\displaystyle{ x^2=0_R }[/math]의 해가 [math]\displaystyle{ 0_R }[/math]로 유일한 것이다.

[math]\displaystyle{ R }[/math]이 영이 아닌 멱영원을 가지지 않는다고 가정하자. 그러면 영이 아닌 [math]\displaystyle{ a\in R }[/math]이 주어지면, 모든 양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a^n \ne 0_R }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ a^2 \ne 0_R }[/math]이다. 따라서 방정식 [math]\displaystyle{ x^2=0_R }[/math]의 해는 [math]\displaystyle{ 0_R }[/math]로 유일하다. 이제 [math]\displaystyle{ x^2=0_R }[/math]의 해가 [math]\displaystyle{ 0_R }[/math]로 유일하다고 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ R }[/math]이 영이 아닌 멱영원을 가지면, [math]\displaystyle{ a^n=0_R }[/math]인 [math]\displaystyle{ a\in R\;(a\ne 0_R) }[/math]와 최소의 양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 존재한다. 만약 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 짝수라면, [math]\displaystyle{ n=2k }[/math]인 양의 정수 [math]\displaystyle{ k }[/math]가 존재하고 [math]\displaystyle{ a^n=a^{2k}=(a^k)^2=0_R }[/math]이 되어 [math]\displaystyle{ a^k }[/math]가 방정식 [math]\displaystyle{ x^2=0_R }[/math]의 근이 된다. 그런데 [math]\displaystyle{ k \lt n }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 최소라는 것에 모순이다. [math]\displaystyle{ n }[/math]이 홀수라면, [math]\displaystyle{ n=2k-1 }[/math]인 양의 정수 [math]\displaystyle{ k }[/math]가 존재하고 [math]\displaystyle{ a^{n+1}=a^{2k}=(a^k)^2=0_R }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ a^k }[/math]는 방정식 [math]\displaystyle{ x^2=0_R }[/math]의 근이 된다. 그런데 [math]\displaystyle{ k=1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n=1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ a=0_R }[/math]이 되어 모순이고, [math]\displaystyle{ k \gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ k \lt n }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 최소라는 것에 모순이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.

• 멱영원은 영이거나 영인자이다.

멱영원 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 영이 아니라고 가정하자.

• 가환환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 두 원소 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]가 멱영원이면, [math]\displaystyle{ a+b }[/math]와 [math]\displaystyle{ ab }[/math]도 멱영원이다. [math]\displaystyle{ R }[/math]의 모든 역영원의 집합은 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 부분환이다.

[math]\displaystyle{ a,b }[/math]가 멱영원이면 [math]\displaystyle{ a^n=0_R }[/math], [math]\displaystyle{ b^n=0_R }[/math]을 만족하는 양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 존재한다. [math]\displaystyle{ R }[/math]이 가환환이므로, 이항정리에 의해

[math]\displaystyle{ \begin{align} (a+b)^{2n}&=\binom{2n}{0}a^{2n}+\binom{2n}{1}a^{2n-1}b +\binom{2n}{2}a^{2n-2}b^2+\cdots + \binom{2n}{n}a^n b^n + \binom{2n}{n+1}a^{n-1}b^{n+1}+\cdots + \binom{2n}{2n}b^{2n}\\ &=\binom{2n}{0}a^n a^n + \binom{2n}{1}a^n a^{n-1} b + \binom{2n}{2}a^n a^{n-2}b^2+\cdots +\binom{2n}{n} a^n b^n + \binom{2n}{n+1}a^{n-1}b^n b +\cdots + \binom{2n}{2n}b^n b^n \\ &=0_R+0_R+0_R+\cdots+0_R+0_R+\cdots + 0_R\\ &=0_R \end{align} }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ (ab)^n = \underbrace{(ab)(ab)\cdots (ab)}_{n\text{ times}} = a^n b^n = 0_R 0_R = 0_R }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ a+b }[/math]와 [math]\displaystyle{ ab }[/math]는 멱영원이다. 한편 [math]\displaystyle{ -b }[/math]도 멱영원이므로, 부분환 판정법에 의해 원하는 결론을 얻는다.

외부 링크

• Basic properties of nilpotent ring elements