1=2

아래 내용은 상당 부분이 거짓입니다.
이 아래는 대부분이 거짓입니다. 이 내용을 참으로 믿는 일이 없기를 바랍니다.

이 문서는 [math]\displaystyle{ 1=2 }[/math]임을 보이는 증명과 그 변형을 다룬다.

[math]\displaystyle{ 1=2 }[/math]

도함수를 이용한 증명

다음을 관찰하자.

[math]\displaystyle{ \begin{align} 1&=1^2\\ 2+2&=2^2\\ 3+3+3&=3^2\\ \vdots &=\vdots \end{align} }[/math]

그러면 언제나

[math]\displaystyle{ \underbrace{x+x+\cdots+x}_{x\text{ times}}=x^2 }[/math]

임을 알 수 있다. 양변을 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 미분하면

[math]\displaystyle{ \underbrace{1+1+\cdots+1}_{x\text{ times}}=2x }[/math]

이고 따라서

[math]\displaystyle{ x=2x }[/math]이다.

양변에서 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 소거하면

[math]\displaystyle{ 1=2 }[/math]

를 얻는다.

연분수를 이용한 증명

임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \frac{n+1}{n}=\cfrac{1}{2-\cfrac{n+2}{n+1}} }[/math]

이다. 이제

[math]\displaystyle{ 1=\frac{1}{2-1}=\frac{1}{2-\cfrac{1}{2-1}}=\frac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-1}}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-1}}}}=\ldots =\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\dots}}}}} }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ 2=\cfrac{1}{2-\cfrac{3}{2}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{4}{3}}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{5}{4}}}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{6}{5}}}}}=\ldots =\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}}}}. }[/math]

우변이 같으므로, [math]\displaystyle{ 1=2 }[/math]임을 안다.

대수 기초를 이용한 증명

[math]\displaystyle{ a=b }[/math]라고 가정하자. 양변에 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 곱하면 [math]\displaystyle{ a^2=ab }[/math]이며, 양변에 [math]\displaystyle{ a^2 }[/math]를 더하면 [math]\displaystyle{ 2a^2=a^2+2ab }[/math]이다. 양변에 [math]\displaystyle{ 2ab }[/math]를 빼면 [math]\displaystyle{ 2a^2-2ab=a^2-ab }[/math]이며, [math]\displaystyle{ 2(a^2-2ab)=a^2-2ab }[/math]로 양변을 인수분해할 수 있다. [math]\displaystyle{ a^2-2ab }[/math]를 소거하면 [math]\displaystyle{ 2=1 }[/math]을 얻는다.

[math]\displaystyle{ 1=-1 }[/math]

허수단위를 이용한 증명

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sqrt{-1} &= i \\ \frac1{\sqrt{-1}} &= \frac1i \\ \frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}} &= \frac1i \\ \sqrt{\frac1{-1}} &= \frac1i \\ \sqrt{\frac{-1}1} &= \frac1i \\ \sqrt{-1} &= \frac1i \\ i &= \frac1i \\ i^2 &= 1 \\ -1 &= 1 \quad !!! \end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ 1=0 }[/math]

극한의 성질을 이용한 증명

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 }[/math]

이다. 따라서 극한의 기본 성질에 의해

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{\text{$n$ times}}\right)=0 }[/math]

이다. 그런데

[math]\displaystyle{ \underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{\text{$n$ times}}=1 }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ 1=0 }[/math]이다.

아래 내용은 진실입니다.
이 아래는 거짓없이 작성되었습니다. 안심하고 읽으셔도 됩니다.

[math]\displaystyle{ 0=1 }[/math]

영환(零環)(혹은 자명환)에서는 정말로 0=1이 성립한다. 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원이 같기 때문.

[math]\displaystyle{ 1=-1 }[/math]

정의역의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x^2=x }[/math]이 성립하는 환은 [math]\displaystyle{ 1=-1 }[/math]이 성립한다.

증명

[math]\displaystyle{ \left(1+\left(-1\right)\right)^2=1+\left(-1\right)=0 }[/math]. 한편, [math]\displaystyle{ \left(1+\left(-1\right)\right)^2=1^2+1\left(-1\right)+\left(-1\right)1+\left(-1\right)^2=1+1\left(-1\right)+\left(-1\right)1+\left(-1\right)=1\left(-1\right)+\left(-1\right)1+0=1\left(-1\right)+\left(-1\right)1 }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ 1\left(-1\right)+\left(-1\right)1=0 }[/math]이고, 이는 곧 [math]\displaystyle{ 1\left(-1\right)=-\left(1\left(-1\right)\right) }[/math]이 성립함을 의미한다. 그런데 [math]\displaystyle{ 1 }[/math]은 곱셈에 대한 항등원이고, 환의 역원의 유일성을 이용하면, [math]\displaystyle{ 1=-1 }[/math]을 얻는다.