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한꼴사상

틀:학술 틀:토막글 한꼴사상(conformal mapping, angle-preserving mapping)은 (국소적) 각을 보존하는 사상이다. 보통 복소해석학에서 복소평면 상에서 정의되나, 일반적으로는 더 고차원의 유클리드 공간이나 (준-)리만 다양체에서까지 정의될 수 있다. 이름이 angle-preserving이라 각의 크기만 보존하는 것으로 오해하는 경우가 많은데, 한꼴사상(conformal)은 등각사상(isogonal)과 다르게 각도의 방향(orientation)까지 고려한다. 이름에서 알 수 있듯이, 변환을 해도 전과 같은 한꼴이어야 한다.

정의

한꼴사상의 예이다.

열린 [math]\displaystyle{ \Bbb C }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ U }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ f:U\to\Bbb C }[/math]와 [math]\displaystyle{ u\in U }[/math]을 지나는 곡선 [math]\displaystyle{ \Gamma_1 , \Gamma_2 }[/math]을 생각하자. 이때 [math]\displaystyle{ \Gamma_1 , \Gamma_2 }[/math]가 [math]\displaystyle{ u }[/math]에서 이루는 각의 크기와 [math]\displaystyle{ f(\Gamma_1) , f(\Gamma_2) }[/math]가 [math]\displaystyle{ f(u) }[/math]에서 이루는 각이 같다면 이때 [math]\displaystyle{ f }[/math]를 한꼴사상이라 한다.

한꼴사상이 곡선의 곡률까지 보존할 필요는 없다. 쉬운 예로, [math]\displaystyle{ f:z \mapsto z^2 }[/math]과 [math]\displaystyle{ \Gamma_1: z=(1+i)t, \; \Gamma_2: z=1+it \; \; (t \in \Bbb R^+) }[/math]을 생각하자. 이 두 곡선은 [math]\displaystyle{ z=1+i \text{ as } t=1 }[/math]에서의 각을 보존([math]\displaystyle{ \theta = 1/4 }[/math])하지만, 곡률은 바뀐다.

인터위키 테스트

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