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[[개집합|열린]] <math>\Bbb C</math>의 부분집합 <math>U</math>에 대하여, <math>f:U\to\Bbb C</math>와 <math>u\in U</math>을 지나는 [[곡선]] <math>\Gamma_1 , \Gamma_2</math>을 생각하자. 이때 <math>\Gamma_1 , \Gamma_2</math>가 <math>u</math>에서 이루는 각의 크기와 <math>f(\Gamma_1) , f(\Gamma_2)</math>가 <math>f(u)</math>에서 이루는 각<ref>크기만 생각하는 것이 아니다.</ref>이 같다면 이때 <math>f</math>를 한꼴사상이라 한다. | [[개집합|열린]] <math>\Bbb C</math>의 부분집합 <math>U</math>에 대하여, <math>f:U\to\Bbb C</math>와 <math>u\in U</math>을 지나는 [[곡선]] <math>\Gamma_1 , \Gamma_2</math>을 생각하자. 이때 <math>\Gamma_1 , \Gamma_2</math>가 <math>u</math>에서 이루는 각의 크기와 <math>f(\Gamma_1) , f(\Gamma_2)</math>가 <math>f(u)</math>에서 이루는 각<ref>크기만 생각하는 것이 아니다.</ref>이 같다면 이때 <math>f</math>를 한꼴사상이라 한다. | ||
한꼴사상이 곡선의 [[곡률]]까지 보존할 필요는 없다. 쉬운 예로, <math>f:z \mapsto z^2</math>과 <math>\Gamma_1: z=1+it, \; \Gamma_2: z=(1+i)t \; \; (t \in \Bbb R)</math>을 생각하자. 이 두 곡선은 <math>1+i \text{ as } t=1</math>에서의 각을 보존하지만, 곡률은 바뀐다. | 한꼴사상이 곡선의 [[곡률]]까지 보존할 필요는 없다. 쉬운 예로, <math>f:z \mapsto z^2</math>과 <math>\Gamma_1: z=1+it, \; \Gamma_2: z=(1+i)t \; \; (t \in \Bbb R^+)</math>을 생각하자. 이 두 곡선은 <math>1+i \text{ as } t=1</math>에서의 각을 보존하지만, 곡률은 바뀐다. | ||
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2015년 7월 3일 (금) 17:33 판
한꼴사상
틀:학술 틀:토막글 한꼴사상(conformal mapping, angle-preserving mapping)은 (국소적) 각을 보존하는 사상이다. 보통 복소해석학에서 복소평면 상에서 정의되나, 일반적으로는 더 고차원의 유클리드 공간이나 (준-)리만 다양체에서까지 정의될 수 있다. 이름이 angle-preserving이라 각의 크기만 보존하는 것으로 오해하는 경우가 많은데, 한꼴사상(conformal)은 등각사상(isogonal)과 다르게 각도의 방향(orientation)까지 고려한다. 이름에서 알 수 있듯이, 변환을 해도 전과 같은 한꼴이어야 한다.
정의
열린 [math]\displaystyle{ \Bbb C }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ U }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ f:U\to\Bbb C }[/math]와 [math]\displaystyle{ u\in U }[/math]을 지나는 곡선 [math]\displaystyle{ \Gamma_1 , \Gamma_2 }[/math]을 생각하자. 이때 [math]\displaystyle{ \Gamma_1 , \Gamma_2 }[/math]가 [math]\displaystyle{ u }[/math]에서 이루는 각의 크기와 [math]\displaystyle{ f(\Gamma_1) , f(\Gamma_2) }[/math]가 [math]\displaystyle{ f(u) }[/math]에서 이루는 각[1]이 같다면 이때 [math]\displaystyle{ f }[/math]를 한꼴사상이라 한다.
한꼴사상이 곡선의 곡률까지 보존할 필요는 없다. 쉬운 예로, [math]\displaystyle{ f:z \mapsto z^2 }[/math]과 [math]\displaystyle{ \Gamma_1: z=1+it, \; \Gamma_2: z=(1+i)t \; \; (t \in \Bbb R^+) }[/math]을 생각하자. 이 두 곡선은 [math]\displaystyle{ 1+i \text{ as } t=1 }[/math]에서의 각을 보존하지만, 곡률은 바뀐다.
단락 1.1
단락 1.1.1
단락 1.2
단락 2
문서 2
- ↑ 크기만 생각하는 것이 아니다.