부분환 판정법

개요

말 그대로 어떤 환의 부분집합이 부분환인지 확인하는 방법이다.

진술

[math]\displaystyle{ R }[/math]이 환이고 [math]\displaystyle{ S }[/math]가 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 부분집합일 때,

• [math]\displaystyle{ a,b\in S }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a+b\in S }[/math]
• [math]\displaystyle{ a,b\in S }[/math]이면 [math]\displaystyle{ ab\in S }[/math]
• [math]\displaystyle{ 0_R \in S }[/math]
• [math]\displaystyle{ a\in S }[/math]이면 [math]\displaystyle{ -a\in S }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ S }[/math]는 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 부분환이다.

이 진술은 다음과 같이 간략화할 수 있다.

[math]\displaystyle{ S }[/math]가 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 공집합이 아닌 부분집합이고

• [math]\displaystyle{ a,b\in S }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a-b\in S }[/math]
• [math]\displaystyle{ a,b\in S }[/math]이면 [math]\displaystyle{ ab\in S }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ S }[/math]는 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 부분환이다.

같이 보기

• 부분군 판정법