감마함수: 두 판 사이의 차이

2015년 6월 5일 (금) 01:13 판

정의

이상적분으로 정의된 함수

[math]\displaystyle{ \Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt,x\gt 0 }[/math]

를 감마함수(Gamma function)라고 한다.

성질

[math]\displaystyle{ \begin{align} \Gamma(x+1)&=\int_0^{\infty}t^x e^{-t}dt\\ &=[-t^xe^{-t}]_0^{\infty}+x\int_0^{\infty}t^{x-1} e^{-t}dt\\ &=x\Gamma(x) \end{align} }[/math]

임을 안다. 이 성질은 감마함수의 정의역을 0 이하의 정수가 아닌 복소수로 확장할 때 사용된다. 감마함수의 정의역을 자연수로 국한시키면 계승(팩토리얼)이 된다.

[math]\displaystyle{ \Gamma(n)=n! }[/math]

이외에 다음 식이 성립한다.

[math]\displaystyle{ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin \pi x} }[/math]

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 == 정의 ==
 [[이상적분]]으로 정의된 함수
-: <math>\Gamma(x)=\begin{cases}
+: <math>\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt,x>0</math>
-\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt,&x>0\\
-\dfrac{\Gamma(x+1)}{x}&x<0\text{ and }x\not\in \mathbb{Z}
-\end{cases}</math>
 를 '''감마함수(Gamma function)'''라고 한다.
 == 성질 ==
-: <math>\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)</math>
+[[부분적분법]]을 이용하면
+: <math>\begin{align}
+\Gamma(x+1)&=\int_0^{\infty}t^x e^{-t}dt\\
+&=[-t^xe^{-t}]_0^{\infty}+x\int_0^{\infty}t^{x-1} e^{-t}dt\\
+&=x\Gamma(x)
+\end{align}</math>
+임을 안다. 이 성질은 감마함수의 정의역을 0 이하의 정수가 아닌 복소수로 확장할 때 사용된다. 감마함수의 정의역을 [[자연수]]로 국한시키면 [[계승]](팩토리얼)이 된다.
+: <math>\Gamma(n)=n!</math>
+이외에 다음 식이 성립한다.
 : <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
 : <math>\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin \pi x}</math>
-감마함수의 정의역을 [[자연수]]로 국한시키면 계승(팩토리얼)이 된다.
-양이 아닌 [[정수]]에서는 발산한다.
 [[분류:특수함수]][[분류:수학]]