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대수학의 기본 정리: 두 판 사이의 차이

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== 진술 ==
== 진술 ==
다음 둘은 서로 동치이며, 둘 중 <s>꼴리는</s> 하나를 대수학의 기본 정리라고 한다:
다음 둘은 서로 동치이며, 둘 중 하나를 대수학의 기본 정리라고 한다:


* 상수 아닌 복소계수 다항식은 하나 이상의 근을 갖는다.
* 상수 아닌 복소계수 다항식은 하나 이상의 근을 갖는다.
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== 증명 ==
== 증명 ==
=== 리우빌의 정리(Liouville’s theorem)를 이용하는 해석적 증명 ===
=== 리우빌의 정리(Liouville’s theorem)를 이용하는 해석적 증명 ===
다음은 복소해석학을 이용한 증명이다.<ref>[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99%EC%9D%98_%EA%B8%B0%EB%B3%B8_%EC%A0%95%EB%A6%AC],출처는 위키백과</ref>
{{빈 문단}}
 
 
복소 다항식
 
:<math>p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0, ~a_n \neq 0, ~n\ge 1</math>
 
가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 <math> z</math> 에 대해 <math> p(z)\neq 0</math> 라고 가정하자. 그러면 <math> \frac{1}{p(z)}</math> 는 전해석함수이다. 이제 [[삼각 부등식]]을 이용하여
 
:<math>|p(z)|=\left|z^{n}(a_n+\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n})\right| \ge |z|^{n}\left||a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|\right| \cdots\cdots(a)</math>
 
를 얻고, <math>C = |a_{n-1}|+\cdots+|a_0|</math>라 하면, 양수 <math>M >1 </math>에 대해 <math>|z|\ge M</math>이면
 
:<math>\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right| \le \frac{|a_{n-1}|}{|z|}+\cdots+\frac{|a_0|}{|z|^n} \le \frac{|a_{n-1}|+\cdots+{|a_0|}}{|z|}\le \frac C M</math>
 
이다. 여기서 <math>M</math>을 충분히 큰 값으로 선택하여 <math> \frac{C}{M} < \frac{|a_n|}{2}</math> 가 되도록 하면 부등식
 
:<math>|a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|>\frac{|a_n|}2</math>
 
이 성립하므로 식 (a)로부터
 
:<math>\left|\frac{1}{p(z)}\right| \le \frac{2}{|a_n|M^{n}}</math>
 
을 얻는다. 즉, <math> \frac{1}{p(z)}</math> 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 [[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]]에 의해 <math>\frac 1 {p(z)}</math>는 상수함수이다. 그러나 가정에서 <math> {p(z)}</math>는 상수가 아니라고 하였으므로 <math>\frac 1 {p(z)}</math> 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 <math> {p(z)}</math> 는 적어도 하나의 영점을 갖는다.


=== 갈루아 이론을 이용하는 증명 ===
=== 갈루아 이론을 이용하는 증명 ===
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이제 중간값 정리와 이차방정식의 풀이를 이용하여 대수학의 기본정리를 증명한다. <math> C </math> 의 유한 확대체 <math>E</math> 가 존재한다고 가정하자. 임의의 유한 확대체는 유한 갈루아 확대체에 포함된다. <math> F</math>를 <math > E</math>를 포함하는 갈루아 확대체라 하자. 갈루아군 <math> Gal(F/R) </math> 의 2-Sylow subgroup <math> H</math> 를 생각하자. 갈루아 이론에 의해  <math> [F':R] </math> 가 홀수인 <math> F </math> 의 부분체 <math> F' </math> 가 존재한다. 하지만 <중간값 정리>에 의해 <math> F'=R</math> 이고, <math> [F,R] </math> 는 2의 거듭제곱이어야만 한다. <math> [F:R]=[F:C][C:R]=2[F:C] </math> 에서 <math> [F,C]</math> 또한 2의 거듭제곱임을 알 수 있다. 이제 <math>[F:C]=2^e\ne 1 </math>라 가정하자. Sylow theory의 결과를 다시 한 번 적용하면, <math> Gal(F/C)</math> 의 원소 개수 <math> 2^{e-1}</math>인 부분군이 존재하며, 갈루아 이론에 의해 이 부분군에 대응되는 <math>C</math>의 2차 확대체가 존재하게 된다. 이것은 이차방정식의 풀이에 모순이다. 따라서 <math> [F:C]=1</math> 이고 <math> F=C</math>이다. 이로서 대수학의 기본 정리가 증명되었다.
이제 중간값 정리와 이차방정식의 풀이를 이용하여 대수학의 기본정리를 증명한다. <math> C </math> 의 유한 확대체 <math>E</math> 가 존재한다고 가정하자. 임의의 유한 확대체는 유한 갈루아 확대체에 포함된다. <math> F</math>를 <math > E</math>를 포함하는 갈루아 확대체라 하자. 갈루아군 <math> Gal(F/R) </math> 의 2-Sylow subgroup <math> H</math> 를 생각하자. 갈루아 이론에 의해  <math> [F':R] </math> 가 홀수인 <math> F </math> 의 부분체 <math> F' </math> 가 존재한다. 하지만 <중간값 정리>에 의해 <math> F'=R</math> 이고, <math> [F,R] </math> 는 2의 거듭제곱이어야만 한다. <math> [F:R]=[F:C][C:R]=2[F:C] </math> 에서 <math> [F,C]</math> 또한 2의 거듭제곱임을 알 수 있다. 이제 <math>[F:C]=2^e\ne 1 </math>라 가정하자. Sylow theory의 결과를 다시 한 번 적용하면, <math> Gal(F/C)</math> 의 원소 개수 <math> 2^{e-1}</math>인 부분군이 존재하며, 갈루아 이론에 의해 이 부분군에 대응되는 <math>C</math>의 2차 확대체가 존재하게 된다. 이것은 이차방정식의 풀이에 모순이다. 따라서 <math> [F:C]=1</math> 이고 <math> F=C</math>이다. 이로서 대수학의 기본 정리가 증명되었다.


== 따름정리 ==
대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 '''따름정리'''를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다.<ref>출처는 [https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99%EC%9D%98_%EA%B8%B0%EB%B3%B8_%EC%A0%95%EB%A6%AC],그리고 [https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99%EC%9D%98_%EA%B8%B0%EB%B3%B8_%EC%A0%95%EB%A6%AC],출처는 위키백과,내용 일부 각색</ref>
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모든 <math>n\,</math>차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 <math>n\,</math>개의 근을 갖는다.
따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식
:<math>p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0, ~a_n \neq 0, ~n\ge 1</math>
에 대해 (서로 다를 필요는 없는) 복소수 <math>z_1, \cdots, z_n</math>이 존재하여
:<math>p(z) = a_n(z-z_1)(z-z_2)\dotsb(z-z_n)</math>
와 같이 쓸 수 있다.
=== 증명 ===
대수학의 기본 정리에 의해 <math> p(z_1)= 0\,</math>인 점 <math> z_1\,</math>이 존재하므로
:<math> p(z)=a_n(z-z_1)p_1(z)\,</math>
와 같이 쓸 수 있다. 그런데 <math> p_1(z)\,</math>은 <math> (n-1)\, </math>차의 다항식이므로, 다항식의 차수에 대한 귀납법을 사용하면(대수학의 기본 정리 이용) 증명이 끝난다.
{{각주}}
{{각주}}
[[분류:대수학]]
[[분류:대수학]]
[[분류:수학 정리]]
[[분류:수학 정리]]

2024년 2월 6일 (화) 12:29 기준 최신판

대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 다항식의 근에 관한 정리이다. 이는 복소수체가 실수체와 달리 대수적으로 닫힘을 알려준다. 다시 말해, 복소수 계수로 만든 모든 방정식은 복소수 해가 존재한다. 뭐 당연한 거 아닌가 싶겠지만 사실 이거 꽤 신박한 거다. 옛날엔 페르마의 마지막 정리 수준의 이목을 끌었다고 한다.

진술[편집 | 원본 편집]

다음 둘은 서로 동치이며, 둘 중 하나를 대수학의 기본 정리라고 한다:

  • 상수 아닌 복소계수 다항식은 하나 이상의 근을 갖는다.
  • [math]\displaystyle{ n }[/math]차 복소계수 다항식은 중근을 고려하여 정확히 [math]\displaystyle{ n }[/math] 개의 근을 갖는다. ([math]\displaystyle{ n\in\Bbb N }[/math])

증명[편집 | 원본 편집]

리우빌의 정리(Liouville’s theorem)를 이용하는 해석적 증명[편집 | 원본 편집]

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갈루아 이론을 이용하는 증명[편집 | 원본 편집]

우리가 "방정식을 푼다" 고 할 때 방정식의 해를 어떤 집합에서 찾는지 생각해보자. 실수들의 집합 R, 대수학의 기본정리의 경우 복소수들의 집합 C, 종종 모듈로 연산을 할 경우 [math]\displaystyle{ p }[/math]로 나눈 나머지만을 고려하여 [math]\displaystyle{ \{0,1,2,\ldots, p-1\} }[/math] 에서 해를 찾게 된다. 이러한 작업을 할 수 있는 일반적인 집합이 바로 체(field) 이다. 체에 대한 이론을 정립하고 기존에 고려하던 실수체 R과 C를 넘어서는 수많은 체들에 대해 방정식을 풀게 되면서 기존에 가능하지 않던 접근이 가능해진다. 갈루아 이론은 두 체 [math]\displaystyle{ E\subset F }[/math]가 있을 때 두 체 사이의 체를 갈루아 군이라는 대상의 부분군과 일대일 대응을 시킴으로서 분류를 가능하게 하는 이론이다. 이로서 군에 대하여 정립된 이론 (Sylow theory 등)을 적용할 수 있게 된다.

이 증명에서 이용되는 "대수적이지 않은 성질"은 [math]\displaystyle{ R }[/math] 위의 홀수차수 방정식은 근을 갖는다는 중간값 정리와, 임의의 복소수의 제곱근이 복소수 집합 내에서 존재한다는, 본질적으로 이차방정식의 풀이이다.

중간값 정리는 체에 대한 명제로,"[math]\displaystyle{ R }[/math]의 홀수 차수 확대체(extension field)는 존재하지 않는다"로 번역된다.

이차방정식의 풀이는 체에 대한 명제로, "[math]\displaystyle{ C }[/math] 의 2차 확대체는 존재하지 않는다"로 번역된다.

대수학의 기본정리는 체에 대한 명제로, "[math]\displaystyle{ C }[/math]의 유한 확대체(finite extension field) 는 존재하지 않는다"로 번역된다. 만약 어떤 복소계수 다항식 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] 의 해가 복소수체 [math]\displaystyle{ C }[/math] 내부에서 존재하지 않는다면, 그러한 해들을 미지수 [math]\displaystyle{ \xi }[/math] 로 놓고, 정확히 [math]\displaystyle{ R }[/math] 에서 [math]\displaystyle{ x^2+1=0 }[/math] 의 해를 추가하여 [math]\displaystyle{ C }[/math] 를 만들듯, [math]\displaystyle{ C }[/math]를 포함하는 더 큰 체를 만들 수 있기 때문이다.

이제 중간값 정리와 이차방정식의 풀이를 이용하여 대수학의 기본정리를 증명한다. [math]\displaystyle{ C }[/math] 의 유한 확대체 [math]\displaystyle{ E }[/math] 가 존재한다고 가정하자. 임의의 유한 확대체는 유한 갈루아 확대체에 포함된다. [math]\displaystyle{ F }[/math]를 [math]\displaystyle{ E }[/math]를 포함하는 갈루아 확대체라 하자. 갈루아군 [math]\displaystyle{ Gal(F/R) }[/math] 의 2-Sylow subgroup [math]\displaystyle{ H }[/math] 를 생각하자. 갈루아 이론에 의해 [math]\displaystyle{ [F':R] }[/math] 가 홀수인 [math]\displaystyle{ F }[/math] 의 부분체 [math]\displaystyle{ F' }[/math] 가 존재한다. 하지만 <중간값 정리>에 의해 [math]\displaystyle{ F'=R }[/math] 이고, [math]\displaystyle{ [F,R] }[/math] 는 2의 거듭제곱이어야만 한다. [math]\displaystyle{ [F:R]=[F:C][C:R]=2[F:C] }[/math] 에서 [math]\displaystyle{ [F,C] }[/math] 또한 2의 거듭제곱임을 알 수 있다. 이제 [math]\displaystyle{ [F:C]=2^e\ne 1 }[/math]라 가정하자. Sylow theory의 결과를 다시 한 번 적용하면, [math]\displaystyle{ Gal(F/C) }[/math] 의 원소 개수 [math]\displaystyle{ 2^{e-1} }[/math]인 부분군이 존재하며, 갈루아 이론에 의해 이 부분군에 대응되는 [math]\displaystyle{ C }[/math]의 2차 확대체가 존재하게 된다. 이것은 이차방정식의 풀이에 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ [F:C]=1 }[/math] 이고 [math]\displaystyle{ F=C }[/math]이다. 이로서 대수학의 기본 정리가 증명되었다.

각주