군의 작용

정의

군 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ \cdot : G\times X \to X }[/math]에 대해

• 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ e_G \cdot x = x }[/math]
• 임의의 [math]\displaystyle{ g_1, g_2\in G }[/math], [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (g_1g_2)\cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x) }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math]을 (왼쪽) 군의 작용((left) group action)이라고 하고, [math]\displaystyle{ G }[/math]가 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 작용한다고 한다. 마찬가지로 함수 [math]\displaystyle{ \cdot : X\times G \to X }[/math]에 대해

• 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\cdot e_G = x }[/math]
• 임의의 [math]\displaystyle{ g_1, g_2\in G }[/math], [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\cdot (g_1g_2) = (x\cdot g_1)\cdot g_2 }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math]을 오른쪽 군의 작용(right group action)이라고 한다.

예시

• 군 [math]\displaystyle{ G }[/math]가 자신에게 작용할 때, [math]\displaystyle{ g\cdot x=gxg^{-1} }[/math]은 군의 작용이다.

종류

• 함수 [math]\displaystyle{ x\mapsto g\cdot x }[/math]가 [math]\displaystyle{ g=e_G }[/math]일 때만 항등함수이면 군의 작용이 충실(faithful) 또는 효과적(effective)이라고 한다.
• 임의의 [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g\cdot x_1=x_2 }[/math]인 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]가 존재하면 군의 작용이 추이적(transitive)이라고 한다.
• 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g\cdot x=x }[/math]이면 [math]\displaystyle{ g=e_G }[/math]일 때 군의 작용이 자유(free)라고 한다.

궤도와 안정자

군 [math]\displaystyle{ G }[/math]가 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 작용한다고 하자. 이때

[math]\displaystyle{ O_x=\{g\cdot x:g\in G\} }[/math]

를 궤도(orbit)라고 하고

[math]\displaystyle{ G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\} }[/math]

를 안정자(stabilizer)라고 한다. 안정자는 군이다.

임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ |O_x||G_x|=|G| }[/math]

이 성립한다. 이를 궤도-안정자 정리(orbit-stabilizer theorem)라고 한다.

활용

Group [math]\displaystyle{ G }[/math] 의 모든 subgroup 들의 집합을 [math]\displaystyle{ S }[/math] 라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ G }[/math] 는 [math]\displaystyle{ S }[/math] 에 conjugation 을 통해 작용한다. 그러면 [math]\displaystyle{ s \in S }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ G_s = N_s }[/math] 가 되고 [math]\displaystyle{ s }[/math] 와 conjugate 한 모든 subgroup 들의 집합은 [math]\displaystyle{ O_s }[/math] 가 된다. 즉 궤도 안정자 정리에 의해

\begin{equation} |O_s| = (G:G_s) = (G:N_s) \end{equation} 를 얻으며 이것은 [math]\displaystyle{ s }[/math] 와 conjugate 한 subgroup의 갯수는 [math]\displaystyle{ s }[/math] 의 normalizer 의 order와 같다는 것을 의미한다.

Orbit-Decomposition formula

Group [math]\displaystyle{ G }[/math] 가 집합 [math]\displaystyle{ S }[/math] 에 작용한다고 하자. 그러면 우리는 집합 [math]\displaystyle{ S }[/math] 를 orbit 들의 disjoint union 으로 나타낼 수 있다.

\begin{equation} S = \amalg_{i \in I} O_{s_i} \end{equation} 여기서 [math]\displaystyle{ \amalg }[/math] 는 이것이 disjoint union 이라는 것을 말한다. 이로부터 [math]\displaystyle{ S }[/math] 가 유한집합일 때, \begin{align} {card}(S) &= \sum_{i \in I} {card}\left (O_{s_i} \right ) \\ &= \sum_{i \in I} \left (G:G_{s_i} \right ) \end{align} 가 성립한다.

이때, \begin{equation} {card}(S) = \sum_{i \in I} \left (G:G_{s_i} \right ) \end{equation}

를 orbit-decomposition formula 라고 한다.

활용

Group [math]\displaystyle{ G }[/math] 는 자기자신에게 conjugation 을 통해 작용하므로, orbit-decomposition formula 에 의해 다음이 성립한다.

\begin{equation} (G:1) = \sum_{x \in C} \left(G:G_{x}\right) \end{equation}

이것을 class formula 라고 하며, [math]\displaystyle{ C }[/math] 는 group [math]\displaystyle{ G }[/math] 의 서로다른 conjugation class 를 모은 집합이다.

만일 [math]\displaystyle{ x \in G, (G:G_x)=1 \iff G_x = G }[/math] 이라면 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 center 를 [math]\displaystyle{ Z }[/math] 라 할 때, [math]\displaystyle{ x \in Z }[/math] 이므로

\begin{equation} (G:1) = (Z:1) + \sum_{x \in C'} \left (G:G_x\right) \end{equation}

와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 [math]\displaystyle{ C' }[/math] 은 [math]\displaystyle{ G }[/math] conjugation class 중 [math]\displaystyle{ (G:G_x)\gt 1 }[/math] 인 것들만 모아둔 집합을 뜻한다.

참고 서적

• Serge Lang (2002). 《Algebra》. Springer. ISBN 978-0387953854

같이 보기

• 번사이드 보조정리