공집합

정의

공집합은 아무것도 들어 있지 않은 빈 상자에 비유할 수 있다.

원소를 가지지 않는 집합을 공집합(empty set)이라고 한다. [math]\displaystyle{ \{\} }[/math], ∅, 또는 [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math]으로 나타낸다. ∅와 [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] 기호는 1939년 수학자 집단인 니콜라 부르바키가 처음 사용했다고 알려져 있다.

예시

• 방정식 [math]\displaystyle{ x^2+1=0 }[/math]의 실근의 집합
• [math]\displaystyle{ \{(x,y,z)\vert x^n+y^n=z^n,x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, z\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N},n\ge 3\} }[/math] (페르마의 마지막 정리)

존재성과 유일성

체르멜로-프렝켈 집합론에서는 존재공리(The axiom of existence)

[math]\displaystyle{ \exists x \forall y[\neg(y\in x)] }[/math]

에 의해 공집합의 존재성을 보장받는다. 확장공리(The axiom of extensionality)

[math]\displaystyle{ \forall p \forall q[\forall x(x\in p \Leftrightarrow x\in q)\Rightarrow p=q] }[/math]

에 의해 공집합이 유일함을 증명할 수 있다.

A와 B를 공집합이라고 가정하자. 그러면 A의 임의의 원소는 B의 원소이며, 마찬가지로 B의 임의의 원소는 A의 원소임을 안다. (뭐?) 따라서 확장공리에 의해 A=B이다.

공집합이 유일함을 보이는 형식적 증명

번호	식	정당화
1	[math]\displaystyle{ \forall y[\neg(y\in A)] }[/math]	가설: A는 공집합.
2	[math]\displaystyle{ \forall y[\neg(y\in B)] }[/math]	가설: B는 공집합.
3	[math]\displaystyle{ \forall p \forall q[\forall x(x\in p \Leftrightarrow x\in q)\Rightarrow p=q] }[/math]	확장공리
4	[math]\displaystyle{ \neg(a\in A) }[/math]	(1)에서 Universal instantiation
5	[math]\displaystyle{ \neg(a\in B) }[/math]	(2)에서 Universal instantiation
6	[math]\displaystyle{ a\in A\Rightarrow a\in B }[/math]	(4)에서 Negation introduction
7	[math]\displaystyle{ a\in B\Rightarrow a\in A }[/math]	(5)에서 Negation introduction
8	[math]\displaystyle{ a\in A\Leftrightarrow a\in B }[/math]	(6)과 (7)에서 Biconditional introduction
9	[math]\displaystyle{ \forall x[(x\in A)\Leftrightarrow (x\in B)] }[/math]	(8)에서 Universal generalization
10	[math]\displaystyle{ \forall x[(x\in A\Leftrightarrow x\in B)]\Rightarrow A=B }[/math]	(3)에서 Universal instantiation
11	[math]\displaystyle{ A=B }[/math]	(9)와 (10)에서 Modus ponens

자연수의 집합론적인 구성

공집합은 유일하다는 성질로 인해 자연수를 구성하는 데 사용되기도 한다. 예를 들어,

[math]\displaystyle{ \begin{align} 0&=\emptyset\\ 1&=\{\emptyset\}\\ 2&=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\ 3&=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\\ 4&=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\}\\ &\cdots \end{align} }[/math]

로 정의한다. 그러면

[math]\displaystyle{ \begin{align} 1&=0\cup \{0\}\\ 2&=1\cup \{1\}\\ 3&=2\cup \{2\}\\ 4&=3\cup \{3\}\\ &\cdots \end{align} }[/math]

이므로, x의 계승자(successor) [math]\displaystyle{ x+1 }[/math]을

[math]\displaystyle{ x+1=x\cup \{x\} }[/math]

로 정의하자.자연수의 자리를 계승하는 중입니다. 집합 I가 다음 조건

• [math]\displaystyle{ 0\in I }[/math]
• [math]\displaystyle{ x\in I }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x+1\in I }[/math]이다.

을 만족하면 I를 귀납적 집합(Inductive set)이라고 한다. 그리고 임의의 귀납적 집합의 원소인 원소들의 집합을 자연수의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]이라고 하고, 자연수의 집합의 원소를 자연수라고 한다.

성질

임의의 집합 A에 대해,

• 공집합은 A의 부분집합이다.

  [math]\displaystyle{ \emptyset\subseteq A }[/math]

• A가 공집합의 부분집합이면 A는 공집합이다.

  [math]\displaystyle{ A\subseteq \emptyset \Rightarrow A=\emptyset }[/math]

• 공집합과 A의 합집합은 A이다.

  [math]\displaystyle{ \emptyset \cup A = A }[/math]

• 공집합과 A의 교집합은 공집합이다.

  [math]\displaystyle{ \emptyset \cap A = \emptyset }[/math]

• 공집합과 A의 곱집합은 공집합이다.

  [math]\displaystyle{ \emptyset \times A=\emptyset }[/math]

[math]\displaystyle{ \bigcap \emptyset }[/math]는 존재하지 않는다. 만약 존재한다면, 다음 명제가 성립한다.

[math]\displaystyle{ x\in \bigcap \emptyset \Leftrightarrow \forall A[A\in \emptyset\Rightarrow x\in A] }[/math]

그러면 [math]\displaystyle{ \forall A[A\in \emptyset\Rightarrow x\in A] }[/math]는 공진명제이므로 결국 임의의 x에 대해 [math]\displaystyle{ x\in \bigcap\emptyset }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \bigcap\emptyset }[/math]가 모든 집합의 집합이 되므로 모순이다.