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<math>U,V</math>를 [[체 (수학)|체]] ''F'' 위에서 정의된 [[벡터공간]]이라 하자. [[ | <math>U,V</math>를 [[체 (수학)|체]] ''F'' 위에서 정의된 [[벡터공간]]이라 하자. [[함수]] <math>f:U\times V\to F</math>가 다음 성질 | ||
* <math>f(a_1\mathbf{u}_1+a_2\mathbf{u}_2,\mathbf{v})=a_1 f(\mathbf{u}_1,\mathbf{v})+a_2 f(\mathbf{u}_2,\mathbf{v})</math> | * <math>f(a_1\mathbf{u}_1+a_2\mathbf{u}_2,\mathbf{v})=a_1 f(\mathbf{u}_1,\mathbf{v})+a_2 f(\mathbf{u}_2,\mathbf{v})</math> | ||
* <math>f(\mathbf{u},b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2)=b_1 f(\mathbf{u},\mathbf{v}_1)+b_2 f(\mathbf{u},\mathbf{v}_2)</math> | * <math>f(\mathbf{u},b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2)=b_1 f(\mathbf{u},\mathbf{v}_1)+b_2 f(\mathbf{u},\mathbf{v}_2)</math> | ||
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벡터공간 <math>U,V</math>의 기저를 각각 <math>B_1=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_m\}</math>, <math>B_2=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}</math>이라 하고, ''f''를 ''U''와 ''V''의 이중선형형식이라 하자. 그러면 | 벡터공간 <math>U,V</math>의 기저를 각각 <math>B_1=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_m\}</math>, <math>B_2=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}</math>이라 하고, ''f''를 ''U''와 ''V''의 이중선형형식이라 하자. 그러면 | ||
: <math>a_{ij}=f(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j)</math> | : <math>a_{ij}=f(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j)</math> | ||
를 성분으로 가지는 m×n [[ | 를 성분으로 가지는 m×n [[행렬]] <math>A=[a_{ij}]</math>를 <math>B_1,B_2</math>에 관한 ''f''의 행렬이라고 한다. | ||
: <math>X=\begin{bmatrix} | : <math>X=\begin{bmatrix} | ||
x_1\\ | x_1\\ | ||
2021년 5월 11일 (화) 08:39 기준 최신판
정의[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ U,V }[/math]를 체 F 위에서 정의된 벡터공간이라 하자. 함수 [math]\displaystyle{ f:U\times V\to F }[/math]가 다음 성질
- [math]\displaystyle{ f(a_1\mathbf{u}_1+a_2\mathbf{u}_2,\mathbf{v})=a_1 f(\mathbf{u}_1,\mathbf{v})+a_2 f(\mathbf{u}_2,\mathbf{v}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(\mathbf{u},b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2)=b_1 f(\mathbf{u},\mathbf{v}_1)+b_2 f(\mathbf{u},\mathbf{v}_2) }[/math]
을 만족하면, f를 U와 V 위의 이중선형형식(Bilinear form)이라고 한다.
벡터공간 [math]\displaystyle{ U,V }[/math]의 기저를 각각 [math]\displaystyle{ B_1=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_m\} }[/math], [math]\displaystyle{ B_2=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\} }[/math]이라 하고, f를 U와 V의 이중선형형식이라 하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ a_{ij}=f(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j) }[/math]
를 성분으로 가지는 m×n 행렬 [math]\displaystyle{ A=[a_{ij}] }[/math]를 [math]\displaystyle{ B_1,B_2 }[/math]에 관한 f의 행렬이라고 한다.
- [math]\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_m \end{bmatrix}, Y=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix} }[/math]
를 각각 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}\in U,\mathbf{v}\in V }[/math]의 좌표행렬(coordinate matrix)이라고 하자. 그러면 A가 U와 V의 이중선형형식 f를 나타내는 행렬일 필요충분조건은 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}\in U,\mathbf{v}\in V }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ f(\mathbf{u},\mathbf{v})=X^T AY }[/math]
인 것이다.
성질[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ f,g }[/math]를 체 F 위의 벡터공간 [math]\displaystyle{ U,V }[/math] 위의 이중선형형식이라고 하자. 이중선형형식의 합과 곱을 다음과 같이 정의하자.
- [math]\displaystyle{ (f+g)(\mathbf{u},\mathbf{v})=f(\mathbf{u},\mathbf{v})+g(\mathbf{u},\mathbf{v}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (cf)(\mathbf{u},\mathbf{v})=c\cdot f(\mathbf{u},\mathbf{v}) }[/math] (단, [math]\displaystyle{ c\in F }[/math])
그러면 [math]\displaystyle{ U,V }[/math] 위의 모든 이중선형형식들의 집합은 벡터공간이다.