적분판정법

진술

함수 [math]\displaystyle{ f:[1,\infty)\to \mathbb{R} }[/math]가 임의의 [math]\displaystyle{ x\in [1,\infty) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(x)\ge 0 }[/math]이고 단조감소한다고 가정하자. 이때

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) }[/math]

이 수렴할 필요충분조건은 특이적분

[math]\displaystyle{ \int_1^\infty f(x)dx }[/math]

가 수렴하는 것이다.

적분판정법을 이용할 때, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 단조감소하지 않고 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 }[/math]인 조건만으로는 충분하지 않다. 예를 들어 함수 [math]\displaystyle{ f:[1,\infty)\to\mathbb{R} }[/math]를

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} -\left|\frac{n+1}{n}(x-n)\right|+\frac{1}{n},&\text{if }n-\frac{1}{n+1}\le x \le n+\frac{1}{n+1}\text{ and }n\in \mathbb{N}\\ 0,&\text{otherwise} \end{cases} }[/math]

으로 정의하면 [math]\displaystyle{ f(n)=\frac{1}{n} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f(n) }[/math]은 발산하나,

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} f(x)dx = \frac{3}{4} }[/math]

이므로 서로의 수렴 여부가 일치하지 않는다.

증명

[math]\displaystyle{ f\left(n\right)=a_n }[/math]이라 정의하자. 모든 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_{k+1} \leq f\left(x\right) \leq a_k, \forall x \in \left[k, k+1\right] }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ a_{k+1} \leq \int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq a_k }[/math]이다. 만약 [math]\displaystyle{ n \geq 2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1} \leq \sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq \sum_{k=1}^{n-1}a_k }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ S_n-a_1 \leq \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx \leq S_{n-1} }[/math]이다. 각 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_k\gt 0 }[/math]이므로 수열 [math]\displaystyle{ \left\{S_n\right\} }[/math]는 단조 증가한다. 비슷하게, [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt 0 , x \in [1, \infty ) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx }[/math]도 단조 증가 수열이다. 이제 급수 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_k }[/math]가 수렴한다 가정하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx }[/math]는 유계이고 따라서 단조 수렴 정리에 의해 수렴한다. 역으로 [math]\displaystyle{ \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx }[/math]가 수렴하면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_k }[/math]는 위로 유계이므로 마찬가지로 단조 수렴 정리에 의해 수렴한다.

예시

다음 급수는 적분판정법을 이용해 수렴함을 보일 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\varepsilon}},\;(\varepsilon \gt 0) }[/math]

다음 급수는 적분판정법을 이용해 발산함을 보일 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) }[/math]

근삿값 추정

급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) }[/math]이 적분판정법으로 수렴한다고 가정하자. 이때

[math]\displaystyle{ \begin{align} s_n &=f(1)+f(2)+\cdots + f(n)\\ r_n &= f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+\cdots \end{align} }[/math]

로 정의하자. 그러면 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f(n)=s_N+r_N }[/math]으로 쓸 수 있다. 한편 임의의 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ f(N+1) \le \int_N^{N+1} f(x) dx \le f(N) }[/math]

이다. 그러면

[math]\displaystyle{ \begin{align} f(N+1)+f(N+2)+f(N+3)+\cdots&\le \int_N^{N+1} f(x)dx + \int_{N+1}^{N+2}f(x)dx + \int_{N+2}^{N+3}f(x)dx\\ &=\int_N^{\infty}f(x)dx \end{align} }[/math]

이고 동시에

[math]\displaystyle{ \begin{align} f(N+1)+f(N+2)+f(N+3)+\cdots&\ge \int_{N+1}^{N+2} f(x)dx + \int_{N+2}^{N+3}f(x)dx + \int_{N+3}^{N+4}f(x)dx\\ &=\int_{N+1}^{\infty}f(x)dx \end{align} }[/math]

이다. 따라서

[math]\displaystyle{ \int_{N+1}^{\infty} f(x)dx \le r_N \le \int_N^{\infty}f(x)dx }[/math]

이다.

수렴하는 급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} }[/math]의 근삿값을 [math]\displaystyle{ N=100 }[/math]으로 두고 구해보자. 그러면

[math]\displaystyle{ \int_N^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{N} }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ \frac{1}{101} \le r_{100} \le\frac{1}{100} }[/math] 이다. 한편

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n^2}=1.634983... }[/math]

이고 실제로

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}= 1.644934... }[/math]

으로, 추정값과 실제 값이 오차를 벗어나지 않음을 알 수 있다.