비율판정법

비율판정법(ratio test)은 수열의 일반항의 비를 이용해 급수의 수렴 여부를 판정하는 방법이다.

진술

실수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ne 0 }[/math]일 때,

• [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 절대수렴한다.
• [math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

증명

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=R }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ R\lt 1 }[/math]이면 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\sup_{m\ge n}\left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right| -R\right|\lt \varepsilon }[/math]이다. [math]\displaystyle{ R \lt \gamma \lt 1 }[/math]인 [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]를 하나 설정하자. [math]\displaystyle{ \varepsilon = \gamma - R }[/math]이라 하면 적당한 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\sup_{n \ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-R\right|\lt \gamma - R }[/math]이고 절댓값 기호를 풀면 [math]\displaystyle{ \sup_{n\ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \lt \gamma }[/math]를 얻는다. 상한의 정의에 의해, [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]인 임의의 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \lt \gamma }[/math]을 얻는다. 즉, [math]\displaystyle{ |a_{n+1}| \lt \gamma |a_n| }[/math]이다. 새로운 수열 [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math]을

[math]\displaystyle{ b_n=\begin{cases} a_n,&\text{if }n\le N+1\\ \gamma^{n-N-1} a_{N+1},&\text{if } n\gt N+1 \end{cases} }[/math]

로 정의하면 임의의 [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |a_n|\le |b_n| }[/math]이다. 이때

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{i=1}^n |b_i | &= \sum_{i=1}^N |b_i| + \sum_{i=N+1}^n |b_i|\\ &=\sum_{i=1}^N |b_i| +\sum_{i=N+1}^n \gamma^{i-N-1} a_{N+1}\\ &=\sum_{i=1}^N |b_i|+ \frac{1-\gamma^{n-N}}{1-\gamma}|a_{N+1}| \end{align} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ |\gamma| \lt 1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}|b_n|=\sum_{i=1}^N |b_i|+ \frac{1}{1-\gamma}|a_{N+1}| }[/math]이다. 따라서 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| }[/math]은 수렴한다.

[math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ r\gt 1 }[/math]이면 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\inf_{m\ge n}\left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right| -r\right|\lt \varepsilon }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \varepsilon=r-1 }[/math]로 설정하면 [math]\displaystyle{ \inf_{n\ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\gt 1 }[/math]를 얻는다. 하한의 정의에 의해, [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]인 임의의 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |a_{n+1}| \gt |a_n| }[/math]이고 곧 임의의 양의 정수 [math]\displaystyle{ k\gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |a_k| \gt |a_N| }[/math]를 얻는다. 그러므로 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|a_n| \ne 0 }[/math]이고 따라서 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 }[/math]이므로 일반항 판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

따름정리

• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 절대수렴한다.
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.
• 만약 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1 }[/math]이면 판정 불가.

예시

다음 급수는 비율판정법을 이용해 수렴함을 증명할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}\;(a\in \mathbb{R}) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n} }[/math]

다음 급수는 비율판정법을 이용해 발산함을 증명할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{2^n n!} }[/math]

다음 급수의 수렴성은 비율판정법으로 판정되지 않는다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} }[/math]