비교판정법

비교판정법(Comparison test)은 어떤 급수를 이미 수렴판정을 마친 다른 급수와 비교해 수렴 여부를 판정하는 방법이다.

진술

실수열 [math]\displaystyle{ (a_n),(b_n) }[/math]에 대해

• [math]\displaystyle{ 0\le a_n \le b_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 수렴하면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]는 수렴한다.
• [math]\displaystyle{ 0\le b_n \le a_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 발산하면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]는 발산한다.

증명

[math]\displaystyle{ 0\le a_n \le b_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 수렴한다고 가정하자. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n }[/math]이 수렴하므로 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n= L }[/math]인 [math]\displaystyle{ L }[/math]이 존재한다. [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^m b_i \gt L }[/math]인 [math]\displaystyle{ m\in \mathbb{N} }[/math]이 존재한다고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^m b_i = L+\alpha }[/math]인 [math]\displaystyle{ \alpha \gt 0 }[/math]가 존재한다. 한편 극한의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ 0\lt \varepsilon \lt \alpha }[/math]인 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\sum_{i=1}^n b_i - L \right|\lt \varepsilon }[/math]이다. 식을 정리하면 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n b_i \lt L+\varepsilon }[/math]이다. [math]\displaystyle{ n }[/math]을 임의로 [math]\displaystyle{ m }[/math]보다 크게 설정하자. 그러면

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n b_i= \sum_{i=1}^m b_i+\sum_{i=m+1}^n b_i\lt L+\varepsilon }[/math]

에서

[math]\displaystyle{ \sum_{i=m+1}^n b_i \lt \varepsilon - \alpha }[/math]

을 얻는다. [math]\displaystyle{ b_n \ge 0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{i=m+1}^n b_i \ge 0 }[/math]이지만 [math]\displaystyle{ \varepsilon-\alpha \lt 0 }[/math]이므로 모순이 발생한다. 따라서 삼일률에 의해 임의의 [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n b_i \le L }[/math]이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_n \le \sum_{i=1}^n b_n \le L }[/math]이다. [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n a_n }[/math]은 단조증가한다. [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n a_n }[/math]은 단조증가하고 유계이므로, 단조수렴정리에 의해 수렴한다.

이제 [math]\displaystyle{ 0\le b_n \le a_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 발산한다고 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴한다면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]도 수렴하게 되어 가정과 모순된다. 따라서 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

예시

다음 급수는 비교판정법으로 수렴함을 증명할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{1}{n} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n 3^n} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\arctan n}} }[/math]

다음 급수는 비교판정법으로 발산함을 증명할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(2^{\frac{1}{n}}-1) }[/math]

따름정리

절대수렴 판정

비교판정법을 절대수렴하는 급수에 적용해볼 수 있다. 수열 [math]\displaystyle{ (a_n),(b_n) }[/math]에 대해

• [math]\displaystyle{ |a_n|\le |b_n| }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 절대수렴하면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]도 절대수렴한다.
• [math]\displaystyle{ |b_n|\le |a_n| }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 절대수렴하지 않으면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]도 절대수렴하지 않는다.

복소급수의 비교판정법

복소급수의 수렴 여부를 판정할 때 비교판정법을 사용할 수 있다. 실수열 [math]\displaystyle{ (M_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ M_n\ge 0 }[/math]이고 급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} M_n }[/math]가 수렴한다고 하자. 복소수열 [math]\displaystyle{ (z_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |z_n|\le M_n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} z_n }[/math]는 수렴한다.

[math]\displaystyle{ z_n = x_n + iy_n }[/math] (단, [math]\displaystyle{ x_n,y_n }[/math]은 실수)으로 두면 [math]\displaystyle{ |x_n|\le |z_n| \le M_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ |y_n| \le |z_n|\le M_n }[/math]이므로 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} |x_n| }[/math]과 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} |y_n| }[/math]은 수렴한다. 따라서 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} x_n }[/math]과 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} y_n }[/math]은 절대수렴하고, 절대수렴하는 급수는 수렴하므로 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} x_n }[/math]과 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}y_n }[/math]은 수렴한다. 따라서 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}z_n }[/math]은 수렴한다.

극한비교판정법

실수열 [math]\displaystyle{ (a_n),(b_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge 0, b_n \gt 0 }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c\;(c\gt 0) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n,\sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]은 모두 수렴하거나 모두 발산한다.

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c }[/math]이면 극한의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ 0\lt \varepsilon \lt c }[/math]인 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ N\in \mathbb{N} }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_n}{b_n}-c\right| \lt \varepsilon }[/math]이므로, 절댓값 기호를 풀면

[math]\displaystyle{ c-\varepsilon \lt \frac{a_n}{b_n} \lt c+\varepsilon }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ b_n \gt 0 }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ (c-\varepsilon)b_n \lt a_n \lt (c+\varepsilon)b_n }[/math]

이다. 이제 다음 네 가지 경우를 각각 따져보면 된다.

1. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴하는 경우: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{c-\varepsilon} a_n }[/math]은 수렴하고 [math]\displaystyle{ 0\lt b_n \lt \frac{1}{c-\varepsilon}a_n }[/math]이므로 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]은 수렴한다.
2. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 발산하는 경우: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{c+\varepsilon} a_n }[/math]은 발산하고 [math]\displaystyle{ 0 \lt \frac{1}{c+\varepsilon} a_n \lt b_n }[/math]이므로 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]은 발산한다.
3. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 수렴하는 경우: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(c+\varepsilon) b_n }[/math]은 수렴하고 [math]\displaystyle{ 0\lt a_n \lt (c+\varepsilon)b_n }[/math]이므로 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
4. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 발산하는 경우: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(c-\varepsilon)b_n }[/math]은 발산하고 [math]\displaystyle{ 0\lt (c-\varepsilon)b_n \lt a_n }[/math]이므로 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

한편 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 수렴한다고 가정하자. 극한의 정의에 의해 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ N\in \mathbb{N} }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n} \lt \varepsilon }[/math], 즉 [math]\displaystyle{ a_n \lt \varepsilon b_n }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n }[/math]이 수렴하면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\varepsilon b_n }[/math]도 수렴한다. 따라서 [math]\displaystyle{ 0\le a_n \lt \varepsilon }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\varepsilon b_n }[/math]이 수렴하므로 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n }[/math]은 수렴한다.

또 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 발산한다고 가정하자. 그러면 극한의 정의에 의해 임의의 [math]\displaystyle{ M \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ N\in \mathbb{N} }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n} \gt M }[/math], 즉 [math]\displaystyle{ Mb_n \lt a_n }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 발산하면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}Mb_n }[/math]이 발산한다. 따라서 [math]\displaystyle{ 0\le Mb_n \lt a_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}Mb_n }[/math]이 발산하므로 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n }[/math]은 발산한다.

비율비교판정법

실수열 [math]\displaystyle{ (a_n),(b_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \gt 0, b_n\gt 0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 수렴한다고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{b_{n+1}}{b_n} }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.

[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{b_{n+1}}{b_n} }[/math]은 [math]\displaystyle{ a_n \gt 0, b_n \gt 0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\le \frac{a_n}{b_n} }[/math]으로 바꾸어 쓸 수 있다. 그러면 [math]\displaystyle{ \left(\frac{a_n}{b_n}\right) }[/math]은 단조감소한다. 한편 [math]\displaystyle{ a_n \gt 0, b_n \gt 0 }[/math]이므로 항상 [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n} \gt 0 }[/math]이다. 즉 0은 [math]\displaystyle{ \left(\frac{a_n}{b_n}\right) }[/math]의 하계이다. 따라서 단조수렴정리에 의해 [math]\displaystyle{ \left(\frac{a_n}{b_n}\right) }[/math]은 수렴한다. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 수렴하므로 극한비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.